procedimientos de construcción – El blog de Víctor Yepes

Ideas sobre la docencia de la asignatura de Procedimientos de Construcción

En el prólogo de obras anteriores, mencioné que la enseñanza de “Procedimientos de Construcción” es complicada, ya que implica instruir a futuros ingenieros civiles sobre la realización de obras. Este proceso abarca no solo las fases constructivas, sino también aspectos de gran relevancia, como el manejo de maquinaria y medios auxiliares, la seguridad y salud, el impacto ambiental de las obras, y sobre todo, conocimientos fundamentales en geotecnia, resistencia de materiales, mecánica, cálculo de estructuras, gestión de empresas, planificación de obras y economía. Todo este conjunto de conocimientos es esencial para tomar decisiones acertadas al seleccionar el mejor proceso constructivo para un proyecto específico. Además, debemos abordar toda esta información, considerando que la mayoría de los alumnos tienen poca o nula experiencia práctica en relación con el entorno físico de las obras.

Una dificultad adicional radica en la creación de un conjunto ordenado y coherente de problemas resueltos que no sean meramente teóricos, sino que se acerquen al mundo real de la profesión. Esta tarea resulta compleja en ocasiones, pues los procedimientos constructivos requieren conocimientos que abarcan casi todas las áreas de la ingeniería. En consecuencia, explicar esta asignatura en los primeros cursos de un grado universitario puede parecer arriesgado, debido a la amplia gama de conocimientos necesarios. Sin embargo, los planes de estudio a veces presentan estas incongruencias y desafíos en la enseñanza de esta materia.

Al final ha salido un volumen extenso, con una amplia variedad de problemas resueltos, que intenta abarcar todo el campo de conocimiento de los procedimientos de construcción, incluyendo la maquinaria y los medios auxiliares utilizados tanto en la ingeniería civil como en la edificación, e incluso en algunos casos, en la minería.

Esta colección forma parte del conjunto de materiales, libros y documentación que he elaborado como autor, complementando así el contenido teórico de la asignatura. Por esta razón, recomiendo al lector que acuda a manuales, libros o apuntes para reforzar la parte teórica de los problemas. No obstante, he incluido una extensa bibliografía que espero sea útil para este propósito. Además, me complace recomendar mi blog, que cuenta con
una trayectoria de casi 12 años y ha recopilado cerca de 2.000 artículos relacionados con aspectos de la ingeniería de la construcción. Puedes encontrarlo en el siguiente enlace: https://victoryepes.blogs.upv.es/.

El libro ofrece una completa colección de 300 problemas resueltos, abarcando aspectos relacionados con la maquinaria, medios auxiliares y procedimientos de construcción. Su contenido se enfoca en la mecanización de las obras, costos, disponibilidad, fiabilidad y mantenimiento de equipos, estudio del trabajo, producción de maquinaria, sondeos y perforaciones, técnicas de mejora del terreno, control y abatimiento del nivel freático, movimiento de tierras, equipos de dragado, explosivos y voladuras, excavación de túneles, instalaciones de tratamiento de áridos, compactación de suelos, ejecución de firmes, maquinaria auxiliar como bombas, compresores o ventiladores, cables y equipos de elevación, cimentaciones y vaciados, encofrados y cimbras, fabricación y puesta en obra del hormigón, organización y planificación de obras.

Es un libro, por tanto, muy enfocado a los ámbitos de la ingeniería de la construcción, tanto en el ámbito de la edificación, de la minería o de la ingeniería civil. Además, se incluyen 27 nomogramas originales y 19 apéndices para apoyar tanto a estudiantes de ingeniería o arquitectura, como a profesionales que enfrentan desafíos similares en su práctica diaria en obra o proyecto. La colección se complementa con un listado de referencias bibliográficas que respaldan los aspectos teóricos y prácticos abordados en los problemas. Estos problemas son similares a los tratados durante las clases de resolución de casos prácticos en la asignatura de Procedimientos de Construcción del Grado en Ingeniería Civil de la Universitat Politècnica de València (España). Por tanto, el libro resulta adecuado tanto para estudiantes de grado como para cursos de máster relacionados con la ingeniería civil, la edificación y las obras públicas.

Por último, y a pesar de que he puesto todo el empeño en resolver y revisar cada uno de los problemas, es posible que existan erratas o errores. Por ello, agradezco de antemano cualquier sugerencia o mejora que pueda ser útil para futuras ediciones. Espero sinceramente que este libro que tiene en sus manos contribuya a mejorar la calidad de la enseñanza de este tipo de asignaturas y que se convierta en una herramienta valiosa tanto para estudiantes como para profesionales. Su éxito en el aprendizaje y aplicación de los procedimientos de construcción es mi mayor deseo.

Valencia, a 25 de julio de 2023

Referencia:

YEPES, V. (2023). Maquinaria y procedimientos de construcción. Problemas resueltos. Colección Académica. Editorial Universitat Politècnica de València, 562 pp. Ref. 376. ISBN 978-84-1396-174-3

Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional.

Maquinaria y procedimientos de construcción: Problemas resueltos

Os presento el libro que he publicado sobre maquinaria y procedimientos de construcción. Se trata de una completa colección de 300 problemas resueltos, abarcando aspectos relacionados con la maquinaria, medios auxiliares y procedimientos de construcción. Su contenido se enfoca en la mecanización de las obras, costos, disponibilidad, fiabilidad y mantenimiento de equipos, estudio del trabajo, producción de maquinaria, sondeos y perforaciones, técnicas de mejora del terreno, control y abatimiento del nivel freático, movimiento de tierras, equipos de dragado, explosivos y voladuras, excavación de túneles, instalaciones de tratamiento de áridos, compactación de suelos, ejecución de firmes, maquinaria auxiliar como bombas, compresores o ventiladores, cables y equipos de elevación, cimentaciones y vaciados, encofrados y cimbras, fabricación y puesta en obra del hormigón, organización y planificación de obras.

El libro tiene 562 páginas. Este libro lo podéis conseguir en la propia Universitat Politècnica de València o bien directamente por internet en esta dirección: https://www.lalibreria.upv.es/portalEd/UpvGEStore/products/p_376-7-1

Sobre el autor: Víctor Yepes Piqueras. Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. Catedrático de Universidad del Departamento de Ingeniería de la Construcción y Proyectos de Ingeniería Civil de la Universitat Politècnica de València. Número 1 de su promoción, ha desarrollado su vida profesional en empresas constructoras, en el sector público y en el ámbito universitario. Ha sido director académico del Máster Universitario en Ingeniería del Hormigón (acreditado con el sello EUR-ACE®), investigador del Instituto de Ciencia y Tecnología del Hormigón (ICITECH) y profesor visitante en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Imparte docencia en asignaturas de grado y posgrado relacionadas con procedimientos de construcción y gestión de obras, calidad e innovación, modelos predictivos y optimización en la ingeniería. Sus líneas de investigación actuales se centran en la optimización multiobjetivo, la sostenibilidad y el análisis de ciclo de vida de puentes y estructuras de hormigón.

Referencia:

A continuación os paso las primeras páginas del libro, con el índice, para hacerse una idea del contenido desarrollado.

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Los grupos electrógenos en una obra

https://protelec.com.pe/lp/mantenimiento-grupos-electrogenos-lima-peru

Los generadores eléctricos se utilizan para suministrar energía eléctrica cuando es necesario reemplazar la electricidad proveniente de la red general, ya sea porque las exigencias de la obra o porque no hay acceso a una red eléctrica. En algunos casos, es esencial emplear estos generadores debido a la falta de una red eléctrica, mientras que en otros, la demanda total de energía de la obra supera la capacidad ofrecida por la red general, lo que hace necesario recurrir a los generadores.

Además de las situaciones previamente mencionadas, hay otras en las que es necesario el uso de generadores eléctricos. Por ejemplo, cuando la cercanía a la red general no es suficiente para conectarse debido a los costos derivados del enganche y la instalación de la línea, así como el costo por kW. En estas situaciones, puede ser más conveniente usar sistemas propios de producción de energía eléctrica. En cuanto a su función, los generadores pueden generar energía total, ofrecer un servicio continuo, cubrir las horas pico o actuar como fuente de energía de emergencia.

Los grupos mencionados están equipados con un motor de combustión interna, generalmente diésel, y un generador eléctrico que suministra energía eléctrica a la obra en construcción. Su potencia varía habitualmente entre 10 y 100 kVA trifásicos y tienen arranque bajo demanda en función del escenario o la potencia requerida. En construcciones de gran envergadura, se han utilizado grupos electrógenos con capacidades de hasta 500 kVA trifásicos, que suelen ser silenciosos. También se instala comúnmente un grupo electrógeno de emergencia al finalizar la obra para garantizar el suministro eléctrico en caso de fallos en la red convencional. En la tabla siguiente se puede ver la potencia y el consumo de generadores diésel a 1.500 rpm, en función de la carga conectada.

Tabla. Potencia y consumo de generadores diésel a 1.500 rpm. https://maximdomenech.es/maquinaria-tv/grupos-electrogenos-que-son-tipos-y-como-elegir-el-adecuado/

El rendimiento de los equipos está directamente relacionado con la cantidad y tipo de generadores utilizados. En general, es más rentable y genera menos problemas emplear varios generadores simultáneamente en lugar de uno solo de alta capacidad. El uso de varios generadores permite realizar operaciones de mantenimiento o reparación en uno de ellos sin interrumpir la producción. Es recomendable usar generadores del mismo tipo, capacidad y fabricante para simplificar el almacenamiento y reducir el costo de las piezas de repuesto. De esta forma, se pueden intercambiar piezas entre los equipos si es necesario.

Es fundamental entender la capacidad adecuada del equipo o conjunto de equipos para su correcto funcionamiento, pues tanto la falta como el exceso de capacidad puede tener un impacto negativo en la vida útil del motor del generador. Si el equipo no cuenta con la capacidad suficiente para cubrir las necesidades de energía requeridas, se producirán sobrecargas y sobrecalentamientos, afectando negativamente el rendimiento del equipo y disminuyendo su vida útil. Por otro lado, si el equipo cuenta con una capacidad excesiva, este trabajará a bajas revoluciones por minuto, lo que puede ocasionar daños en el motor debido a su incorrecto funcionamiento.

Se recomienda el uso de varios grupos de generadores en lugar de un único grupo de gran capacidad, pues esto resulta más rentable y evita problemas de averías, reparaciones y revisiones. Al diseñar un conjunto de grupos, es importante garantizar que la suma de todos ellos tenga una reserva del 15% para casos de averías, revisiones, etc., sin afectar significativamente el rendimiento. El uso de varios generadores permite desconectar algunos de ellos durante horas de baja demanda, lo que ahorra combustible y aumenta su vida útil al permitir que los restantes trabajen a plena carga.

Os dejo algunos vídeos explicativos, que espero os resulten de interés.

Referencias:

YEPES, V.; MARTÍ, J.V. (2017). Máquinas, cables y grúas empleados en la construcción. Editorial de la Universitat Politècnica de València. Ref. 814. Valencia, 210 pp.

Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional.;

Construcción de túneles mediante perforación y voladura

Figura 1. Operaciones básicas integrantes del ciclo de excavación de túneles con explosivos

A pesar del avance tecnológico, la técnica de perforación y voladura sigue siendo popular en la excavación de túneles debido a sus ventajas. A diferencia de la excavación mecánica, la técnica de explosivos es versátil, trabajando con varios tipos de roca y secciones de obra. Además, se adapta a otros trabajos, es fácilmente transportable y la inversión inicial es reducida. Se trata de un método de frente abierto, que consiste básicamente en la realización de unos taladros que posteriormente se cargan con explosivos y se detonan. Los gases de la explosión penetran en las fracturas y desmenuzan la roca.

La técnica de arranque con explosivos se utiliza en rocas de alta resistencia con una velocidad sísmica del orden de 2000 a 2500 m/s, dependiendo de las condiciones del terreno o de la abrasividad de las rocas. Es aplicable a rocas con una resistencia a la compresión de 80 MPa o superior, incluso las más duras, lo que la hace más eficiente que la excavación mecánica. En estos casos, la excavación mecánica puede resultar antieconómica debido a la pérdida de rendimiento y el consumo de elementos de desgaste. Además, la técnica de perforación y voladura es más flexible y puede adaptarse a cambios litológicos o trastornos tectónicos en el terreno.

La técnica de excavación con explosivos consiste en realizar taladros en el frente de excavación, cargarlos con explosivos y detonarlos. Para perforar se emplean equipos como “jumbos” o carros perforadores. Uno de los principales objetivos de una buena voladura es evitar el deterioro excesivo de la roca circundante a la excavación, ya que una voladura inadecuada puede provocar sobreexcavaciones y caídas de bloques que generan problemas de estabilidad adicionales. Por lo tanto, es necesario efectuar voladuras controladas y técnicas como el precorte o las voladuras suaves para minimizar el daño estructural al terreno. En la Figura 1 se muestran las operaciones básicas que componen el ciclo de excavación de túneles con explosivos.

Los taladros se ajustan a una longitud de avance de entre 1 y 4 metros, según la resistencia de la roca. Aunque hay diferentes disposiciones de taladros, todas ellas deben atenuar el confinamiento generado por la onda expansiva, ya que solo hay una cara de salida disponible.

Figura 2. Zonas de una voladura en un túnel

La técnica de voladura en el frente de ataque consiste en una explosión controlada que se lleva a cabo mediante una secuencia. Se utilizan detonadores de retardo de milisegundos para activar las diferentes áreas de la carga en momentos distintos. Es necesario que en un principio se cree un hueco libre con los barrenos de cuele y contra-cuele, hacia el cual romperán las cargas restantes de la sección. Luego, se vuela la destroza y se da forma a la sección del túnel con los barrenos del piso (zapateras) y los barrenos de recorte o contorno.

La excavación de túneles puede llevarse a cabo en secciones completas o, si son demasiado grandes, por fases, empleando galerías de avance, destrozas laterales y/o banqueo del suelo. Los jumbos modernos presentan una ventaja significativa en comparación con los topos y minadores. A diferencia de los topos que solo pueden excavar secciones circulares y de los minadores que tienen una capacidad de cobertura limitada, los jumbos actuales pueden utilizarse para trabajos de perforación para el sostenimiento y tienen una gran movilidad que les permite desplazarse fácilmente de un frente a otro.

En términos de inversión, los equipos de perforación tienen un costo inferior en comparación con los minadores o topos para una misma sección de excavación. Por lo tanto, en obras lineales de reducida longitud, es el sistema más recomendable para su amortización e incluso se puede destinar a la ejecución de otras obras distintas.

Sin embargo, el arranque con explosivos presenta algunos inconvenientes en comparación con la excavación mecánica. Por ejemplo, los perfiles de excavación pueden ser más irregulares y la alteración del macizo rocoso remanente puede ser intensa si las voladuras no se disparan empleando técnicas de contorno en el perímetro. Ambos aspectos pueden aumentar los costos del sostenimiento y, sobre todo, del revestimiento mediante hormigonado.

Además, si se realizan perforaciones con explosivos en zonas urbanas, las vibraciones generadas por las voladuras pueden ser un factor limitante. Es necesario proteger la integridad de las edificaciones y otras estructuras subterráneas y evitar las molestias a las personas.

Ciclo básico de perforación y voladura

En primer lugar, es importante tener en cuenta que la excavación de túneles en roca usando la perforación y los explosivos es una operación cíclica y no continua.

El ciclo básico de excavación mediante perforación y voladura consta de las siguientes operaciones. Si solo se excava la parte superior y un banco en lugar de todo el frente, se tendrá un ciclo doble más complejo:

Perforación de barrenos en el frente a un patrón y profundidad adecuados.
Retirar el equipo perforador.
Carga del explosivo y retirada del personal.
Detonado de las cargas.
Evacuación de humos y ventilación.
Saneo de los hastiales y bóveda y bulonado.
Carga y transporte del escombro.
Labores de sostenimiento y gunitado.
Replanteo de la nueva voladura.

El tiempo que se tarda en completar un ciclo de excavación para un túnel con sección completa o de calota, en caso de que el avance se realice en varias fases, suele ser de uno a dos turnos, según la sección y el tipo de sostenimiento requerido. La distribución de tiempos suele seguir la tabla que se presenta a continuación:

Perforación de barrenos	10 – 30%
Carga del explosivo	5 – 15%
Voladura y ventilación	5 – 10%
Saneo y desescombro	15 – 35%
Sostenimiento	65 – 10%

En la tabla se puede observar que el tiempo destinado al sostenimiento en la sección de avance puede llegar a superar el 50% de la duración total del ciclo en los casos más desfavorables. Por otro lado, en la sección de destroza, estos tiempos suelen ser generalmente del orden de la mitad e incluso inferiores.

En general, se recomienda utilizar una tuneladora (TBM) para excavar túneles de más de 4,5 km de longitud y la técnica de perforación y voladura para túneles de menos de 1,5 km (ver Figura 3). Sin embargo, es importante tener en cuenta que esta es una guía general y que cada proyecto debe ser evaluado en función de factores específicos que puedan influir en la elección del método de excavación. Por ejemplo, puede haber casos en los que un túnel de 5 km se excave mediante la técnica de perforación y voladura en lugar de un TBM, o viceversa, en función de factores como la geología, la geometría, el impacto ambiental y los plazos de ejecución. Para los túneles cuya longitud está comprendida entre los 1,5 km y los 4,5 km, los costos de ejecución pueden ser similares, pero se deben tener en cuenta otros factores para tomar una decisión informada sobre el método de excavación más adecuado.

Figura 3. Coste según longitud del túnel excavado para los métodos con TBM y perforación y voladura. https://bestsupportunderground.com/tbm-perforacion-voladura/

Referencias:

MARTÍ, J.V.; YEPES, V.; GONZÁLEZ, F.; ALCALÁ, J. (2012). Técnicas de voladuras y excavación en túneles. Apuntes de la Universitat Politècnica de València. Ref. 530, 165 pp.

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Selección de dragas en función del terreno

Figura 1. https://www.publicdomainpictures.net/es/view-image.php?image=89500&picture=draga

Para planificar un proyecto de dragado es fundamental disponer de información geotécnica detallada del material a extraer. Esto permitirá seleccionar el equipo adecuado, estimar los rendimientos y prever la necesidad de sobre-excavación. Es importante tener en cuenta el tipo de terreno a dragar para identificar los más apropiados.

Las Tablas que se presentan resumen las características de las dragas en función del terreno, lo que facilita la elección del equipo adecuado y contribuye a una ejecución más eficiente del dragado.

Tabla 1. Comportamiento de las dragas en función del terreno (Vigueras, 1997)

Tabla 2. Equipos más adecuados para cada terreno (Vigueras, 1997)

Tabla 3. Uso de los equipos de dragado en función del emplazamiento y las características de los materiales a dragar (Vigueras, 1997)

Referencias:

BRAY, R.N.; BATES, A.D.; LAND, J.M. (1997). Dredging: A handbook for engineers. 2^nd edition, Willey, 434 pp.

CLEMENTE, J.J.; GONZÁLEZ-VIDOSA, F.; YEPES, V.; ALCALÁ, J.; MARTÍ, J.V. (2010). Temas de procedimientos de construcción. Equipos de dragado. Editorial de la Universitat Politècnica de València. Ref. 2010.4038.

SANZ, C. (2001). Manual de equipos de dragado. Ed. Carlos López Jimeno. Madrid, 323 pp.

VIGUERAS, M. (1997). Organización y ejecución de las obras. Conferencia 7. Curso General de Dragados Ente Público Puertos del Estado.

Cursos:

Curso de gestión de costes y producción de la maquinaria empleada en la construcción.

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Prototipo de examen para la asignatura de Procedimientos de Construcción

Mis estudiantes agradecen que les proporcione exámenes muy parecidos a los que van a tener que hacer. Estoy en este momento dando las primeras clases de la asignatura de Procedimientos de Construcción a los estudiantes del doble grado de Matemáticas-Ingeniería Civil de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos de Valencia.

El nivel de dificultad del examen real será muy similar. Además, este tipo de ejercicios permite a los estudiantes enfrentarse a los problemas, consultar al profesor su resolución y aprender del proceso de evaluación.

De momento solo he tenido la oportunidad de dar tres unidades correspondientes a sondeos y perforaciones, técnicas de mejora del terreno y control del nivel freático. El tipo de examen es del estilo al que dejo a continuación.

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Gestión de costes y producción de maquinaria de construcción

Os presento una novedad editorial que he publicado sobre la gestión de costes y producción de maquinaria de construcción. Este manual trata de los fundamentos de la gestión del coste y la producción de la maquinaria empleada en la construcción. Se desarrollan los aspectos relacionados con la selección de las máquinas, su vida económica y estructura de coste. Se introducen los conceptos básicos sobre disponibilidad, fiabilidad y mantenimiento de equipos, así como otros referentes a la gestión de inventarios y parques de maquinaria. Se analizan los aspectos fundamentales del estudio del trabajo aplicables a los equipos. Se desarrollan los conceptos relacionados con la constructividad y constructabilidad, la medida y los incentivos a la productividad, el fenómeno del aprendizaje. Además, se explican aspectos necesarios para el cálculo de la producción de máquinas y conceptos relacionados con el estudio de métodos y medición del trabajo, el cronometraje, el rendimiento y los factores de producción, entre otros. El libro se complementa con un listado de referencias, así como numerosas cuestiones de autoevaluación y problemas resueltos que permiten al estudiante ampliar y aplicar los conocimientos desarrollados. Este manual tiene como objetivo apoyar los contenidos lectivos de los programas de los estudios de grado relacionados con la ingeniería civil, la edificación y las obras públicas. No obstante, también resulta útil en otros estudios relacionados con la ingeniería de la construcción y la minería y a aquellos profesionales que desarrollan sus tareas en estos ámbitos.

El libro tiene 254 páginas, 85 figuras y fotografías, 54 problemas resueltos, así como 149 cuestiones de autoevaluación resueltas. Los contenidos de esta publicación han sido evaluados mediante el sistema doble ciego, siguiendo el procedimiento que se recoge en: http://www.upv.es/entidades/AEUPV/info/891747normalc.html

Este Manual de Referencia lo podéis conseguir en la propia Universitat Politècnica de València o bien directamente por internet en esta dirección: https://www.lalibreria.upv.es/portalEd/UpvGEStore/products/p_442-6-1

Sobre el autor: Víctor Yepes Piqueras. Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. Catedrático de Universidad del Departamento de Ingeniería de la Construcción y Proyectos de Ingeniería Civil de la Universitat Politècnica de Valéncia. Número 1 de su promoción, ha desarrollado su vida profesional en empresas constructoras, en el sector público y en el ámbito universitario. Es investigador del Instituto de Ciencia y Tecnología del Hormigón (ICITECH) y profesor visitante en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Ha sido director académico del Máster Universitario en Ingeniería del Hormigón (acreditado con el sello EUR-ACE). Imparte docencia en asignaturas de grado y posgrado relacionadas con procedimientos de construcción y gestión de obras, calidad e innovación, modelos predictivos y optimización en la ingeniería. Sus líneas de investigación actuales se centran en la optimización multiobjetivo, la sostenibilidad y el análisis de ciclo de vida de puentes y estructuras de hormigón.

Referencia:

YEPES, V. (2022). Gestión de costes y producción de maquinaria de construcción. Colección Manual de Referencia, serie Ingeniería Civil. Editorial Universitat Politècnica de València, 243 pp. Ref. 442. ISBN: 978-84-1396-046-3

A continuación os paso las primeras páginas del libro, con el índice, para hacerse una idea del contenido desarrollado.

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Ecuación de Euler-Eytelwein: tensión de la correa en una polea

Mecanismos tales como el freno de cinta o las bandas transportadoras utilizan el rozamiento entre la correa y el disco sobre el que giran. La tensión fundamental que describe la tensión de la correa sobre una polea se denomina ecuación de Euler-Eytelwein.

A continuación os paso la demostración de esta ecuación y la resolución de un problema. Son apuntes sobre este tema que suelo impartir a mis estudiantes de la asignatura de Procedimientos de Construcción. Además, os dejo un vídeo de canalfdet para obtener las condiciones de carga que sacan a un sistema del equilibrio. Espero que todo os sea de interés.

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El vídeo es el siguiente:

Referencias:

Ecuación fundamental de la estática de los cables

A continuación se deduce la ecuación fundamental de la estática de los cables. Para ello suponemos un cable infinitamente flexible, sometido a la acción de su peso propio y a una serie de cargas verticales aisladas, diferentes y distribuidas de un modo cualquiera (tal y como vemos en la figura).

Esta ecuación demuestra que la distancia de un punto del cable a la cuerda que une dos puntos cualesquiera se puede calcular como el cociente entre el momento isostático de todas las fuerzas situadas a la derecha (o a la izquierda) de dicho punto y la tensión horizontal del cable.

Veamos a continuación la demostración de esta ecuación.

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Referencias:

Aproximación a la catenaria por medio de la parábola

En cables bien tensados y con poca flecha, se puede aproximar la catenaria a una parábola. Es una simplificación muy útil a efectos de cálculo. En este caso se sustituye el peso del cable por una sobrecarga uniforme horizontal equivalente. Además, en un tramo suficientemente pequeño, se puede aproximar la longitud real de la catenaria por la cuerda que une dos puntos. También es interesante comprobar que, con esta aproximación, la componente de la tensión horizontal del cable permanece constante.

La mayoría de los cálculos se hacen utilizando parábolas con esta simplificación, aprovechando las propiedades de la catenaria.

A continuación os dejo resuelta la aproximación de la ecuación de la catenaria a una parábola. Espero que os sea útil.

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Referencias: