Ecuación de Euler-Eytelwein: tensión de la correa en una polea

Mecanismos tales como el freno de cinta o las bandas transportadoras utilizan el rozamiento entre la correa y el disco sobre el que giran. La tensión fundamental que describe la tensión de la correa sobre una polea se denomina ecuación de Euler-Eytelwein.

A continuación os paso la demostración de esta ecuación y la resolución de un problema. Son apuntes sobre este tema que suelo impartir a mis estudiantes de la asignatura de Procedimientos de Construcción. Además, os dejo un vídeo de canalfdet para obtener las condiciones de carga que sacan a un sistema del equilibrio. Espero que todo os sea de interés.

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El vídeo es el siguiente:

 

Ecuación fundamental de la estática de los cables

A continuación se deduce la ecuación fundamental de la estática de los cables. Para ello suponemos un cable infinitamente flexible, sometido a la acción de su peso propio y a una serie de cargas verticales aisladas, diferentes y distribuidas de un modo cualquiera (tal y como vemos en la figura).

Esta ecuación demuestra que la distancia de un punto del cable a la cuerda que une dos puntos cualesquiera se puede calcular como el cociente entre el momento isostático de todas las fuerzas situadas a la derecha (o a la izquierda) de dicho punto y la tensión horizontal del cable.

Veamos a continuación la demostración de esta ecuación.

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Aproximación a la catenaria por medio de la parábola

En cables bien tensados y con poca flecha, se puede aproximar la catenaria a una parábola. Es una simplificación muy útil a efectos de cálculo. En este caso se sustituye el peso del cable por una sobrecarga uniforme horizontal equivalente. Además, en un tramo suficientemente pequeño, se puede aproximar la longitud real de la catenaria por la cuerda que une dos puntos. También es interesante comprobar que, con esta aproximación, la componente de la tensión horizontal del cable permanece constante.

La mayoría de los cálculos se hacen utilizando parábolas con esta simplificación, aprovechando las propiedades de la catenaria.

A continuación os dejo resuelta la aproximación de la ecuación de la catenaria a una parábola. Espero que os sea útil.

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Propiedades de la catenaria

En la resolución de muchos problemas de cables que se plantean en la asignatura de Procedimientos Generales de Construcción y Organización de Obras se utilizan una serie de propiedades que tiene la catenaria. Estamos hablando de uno de los temas clásicos que se han impartido en esta asignatura desde sus orígenes, cuando se llamaba “Maquinaria y medios auxiliares” en la Escuela de Ingenieros de Caminos de Madrid. Las propiedades de la catenaria se deducen fácilmente. Os dejo a continuación la demostración. Espero que os sea de interés.

Como curiosidad os diré que la figura podéis ver de la catenaria me ha costado algo de trabajo. He empleado una hoja Excel para dibujarme una catenaria de parámetro la unidad. Fijarse que la distancia “s” que se representa tiene que tener la misma longitud que la distancia desde el punto más bajo de la catenaria hasta el punto considerado.

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Ecuación de un cable suspendido sometido a su propio peso: La catenaria

En el ámbito de la construcción, los cables constituyen un elemento de gran importancia. Baste recordar su uso en grúas, blondines, venteado de estructuras, etc. Los cables se consideran en la práctica como unos sólidos prismáticos cuya rigidez a flexión, torsión y cortadura es despreciable. Tampoco trabajan a compresión, por lo que son elementos que solo resisten esfuerzos de tracción.

Cuando un cable se encuentra suspendido entre dos puntos y solo está sometido a su propio peso, el cable adopta una curva que se denomina catenaria. No obstante, la forma de la curva adoptada dependerá del tipo de cargas que actúe sobre el cable.

Os paso a continuación la demostración de la ecuación de la catenaria. Este tema era un clásico de la asignatura Procedimientos Generales de Construcción y Organización de Obras, aunque en muchos planes de estudios actuales se estudie en asignaturas relacionadas con el cálculo de estructuras.

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El jeep que viaja por un cable, la rectificación del arco y la fórmula de Stevenin

Andaba estudiando 4º curso de la carrera de ingenieros de caminos, canales y puertos de Valencia, cuando en la asignatura de Procedimientos Generales de Construcción y Organización de Obras, el profesor Hermelando Corbí nos explicaba problemas de cables. Uno de dichos problemas lo he rescatado de mis viejos apuntes. Trata de un jeep que tiene que pasar por un puente militar formado por un cable. ¡Quién sabe cómo puede viajar un jeep por un solo cable! Pero bueno, el problema era el que era y había que resolverlo.

Con los planes de estudios actuales, los problemas de cables no se estudian en esta asignatura. Se reserva solo su estudio cualitativo, dejando a otras asignaturas de cálculo de estructuras este tema tan interesante.

El problema que os presento resuelto a continuación utiliza varias fórmulas dimensionales y aproximaciones que estudiábamos en aquel momento. Podéis ver cómo el problema sigue resuelto en unidades diferentes a las que empleamos ahora. Pero sirve para ver cómo ha cambiado la forma de plantear y resolver los problemas. Las expresiones usadas en el problema provienen del desarrollo teórico de las ecuaciones de equilibrio de un elemento de cable, de la ecuación fundamental de la estática de cables, de la rectificación del arco y de la fórmula de Stevenin.

Espero que este problema resuelto le traiga recuerdos a más de un compañero de promoción. Si encontráis alguna errata, por favor, me lo indicáis. Por cierto, si tenéis alguna fotografía de un jeep paseando por un puente militar formado por un solo cable, me lo mandáis.

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UNE 180201:2022 Encofrados. Diseño general, requisitos de comportamiento y verificaciones

Figura 1. Norma Española UNE 180201:2022.

El 20 de julio del 2022 se editó la nueva norma UNE 180201 que trata sobre el diseño general, requisitos de comportamiento y verificaciones de los encofrados. Esta versión sustituye a la que estaba vigente, del año 2016. Esta norma ha sido elaborada por el Comité Técnico CTN 180 Equipamiento para trabajos temporales en obra, cuya secretaría desempeña la Asociación Española de Fabricantes de Maquinaria de Construcción, Obras Públicas y Minería (ANMOPYC).

Esta norma especifica los requisitos de comportamiento, los métodos de diseño (estructural y general) y las comprobaciones para encofrados. Los requisitos se aplican a los diferentes tipos de encofrados que habitualmente se emplean en la construcción.

Esta norma soluciona un par de problemas. En primer lugar, había una serie de productos sin normalizar (muros, encofrados horizontales, trepas, puntales, etc.) que requerían regulación. Por otra parte, había que normalizar aspectos que suponen deficiencias y mala praxis a lo largo de la vida útil de encofrado: diseño y fabricación deficientes, mal uso, mantenimiento incorrecto o falta de información (AFECI, 2021). Además, y esto es lo más importante, el vigente Código Estructural recoge en su articulado el cumplimiento de esta norma de cimbras.

Figura 2. Contenidos principales de la UNE 180201

Para los interesados en ampliar información general sobre cimbras os dejo los siguientes enlaces de mi blog: https://victoryepes.blogs.upv.es/?s=cimbra.

Además, os dejo un curso MOOC en línea, gratuito y masivo, que podéis empezar en cualquier momento y que, si se considera oportuno, puede dar lugar a un certificado oficial. El nombre de este curso es Introducción a los encofrados y las cimbras en obra civil y edificación y ya son más de 26.000 inscritos. Es un curso avalado por la Universitat Politècnica de València. El enlace es el siguiente: https://www.edx.org/es/course/introduccion-a-los-encofrados-y-las-cimbras-en-obr

Os dejo el vídeo de una ponencia desarrollada por Lluís Chabert Ramon (Sistemas Técnicos de Encofrados) en unas jornadas de la Associació de Consultors d’Estructures.

Esta presentación la podéis descargar aquí: https://aceweb.cat/wp-content/uploads/big-docs/ponencias-jornada-cimbras-marzo-2018/2-AFECI-UNE180201-20180322.pdf

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Os dejo un extracto de la norma proporcionada por la Asociación Española de Normalización UNE. A esta asociación hay que dirigirse para adquirir dicho documento.

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Referencias:

AFECI (2021). Guía sobre encofrados y cimbras. 3ª edición, Asociación de fabricantes de encofrados y cimbras, 76 pp.

MARTÍ, J.V.; YEPES, V.; GONZÁLEZ, F. (2004). Temas de procedimientos de construcción. Cimbras, andamios y encofrados. Editorial de la Universidad Politécnica de Valencia. Ref. 2004.441. Valencia, 50 pp.

Procedimiento Triger de excavación bajo nivel freático

Figura 1. Un esquema de un cajón abierto ideado por Triger (1846). https://es.wikipedia.org/wiki/Jacques_Triger

Tal día como hoy, 11 de marzo, nació el geólogo francés Jacques Triger (1801-1867), inventor del “procedimiento Triger” para ejecutar excavaciones bajo nivel freático. Se trata de realizar la excavación en el interior de una cámara o cajón abierta en su parte inferior a la que se bombea aire comprimido para evitar la entrada de agua (Figura 1).

Se empezó a emplear en las minas de carbón en 1839 (minas de Chalonnes-sur-Loire). Estas minas estaban situadas bajo el lecho del río Loira, y para llegar a la roca había que cortar 20 m de aluvión anegado de agua. En este caso, se inyectaba el aire a presión mediante una bomba de vapor.

En la Figura 2 se puede ver con mayor detalle cuál era el procedimiento constructivo ideado por Triger. Sobre la sección inferior presurizada y sellada por el terreno (B), había otra sección, (A), con esclusas arriba y abajo (M y N), con dos válvulas y un grifo. Una de las válvulas suministraba el aire comprimido a la caja y la otra lo llevaba al tubo. La válvula posibilitaba reponer el equilibrio de presión, entre la caja y las secciones contiguas. El agua se evacuaba por un tubo desde el fondo al exterior impulsado por la presión el aire, sin necesidad de bombas (S). Los descensos del tubo ocurrían al bajar la presión de la cámara.

Figura 2. Procedimiento de Jacques Triger en el pozo de Chalonne. https://jluisgsa.blogspot.com/2020/03/la-cara-oculta-de-los-puentes-con-pilas.html

Su invento fue ampliamente utilizado en la ingeniería de la construcción, especialmente para hundir los cimientos de los pilares de los puentes en los lechos de los ríos. Esta tecnología se utilizó por primera vez en Italia en la década de 1850 bajo la supervisión de empresas de construcción británicas y francesas. También se utilizó el procedimiento en obras emblemáticas como en la cimentación del puente de Brooklyn o en el puente del Firth of Forth en Escocia o en la cimentación de dos de los cuatro pilares de la Torre Eiffel (Figura 3).

Figura 3. Construcción de los cimientos de la Torre Eiffel (1887). https://es.wikipedia.org/wiki/Jacques_Triger

Esta técnica presenta riesgos elevados para los trabajadores, pues el entorno hiperbárico provoca graves daños si no se realiza una descompresión adecuada. Hoy en día, su uso es marginal y tiende a desaparecer. Otros métodos más seguros y económicos han sustituido a esta técnica.

En un artículo escrito en este blog sobre cimentación mediante aire comprimido se analiza con mayor detalle este procedimiento constructivo. Actualmente también es posible controlar el nivel freático mediante aire comprimido en excavaciones realizadas por escudos. Remito al lector a un artículo específico que escribimos en su día de esta tecnología.

Referencias:

  • GALLO, J.; PÉREZ, H.; GARCÍA, D. (2016). Excavación, sostenimiento y técnicas de corrección de túneles, obras subterráneas y labores mineras. Universidad del País Vasco, Bilbao, 277 pp.
  • MARTÍ, J.V.; YEPES, V.; GONZÁLEZ, F.; ALCALÁ, J. (2012). Técnicas de voladuras y excavación en túneles. Apuntes de la Universitat Politècnica de València. Ref. 530, 165 pp.
  • MENDAÑA, F.; FERNÁNDEZ, R. (2011). Hidroescudos y tuneladoras E.P.B. Campos de utilización. Revista de Obras Públicas, 3525:67-86
  • YEPES, V. (2020). Procedimientos de construcción de cimentaciones y estructuras de contención. Colección Manual de Referencia, 2ª edición. Editorial Universitat Politècnica de València, 480 pp. Ref. 328. ISBN: 978-84-9048-903-1.

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Procedimientos de construcción para la compactación y mejora del terreno

Os presento la primera edición del libro que he publicado sobre procedimientos de construcción para la compactación y mejora del terreno. Se trata de un manual de referencia que trata de los aspectos relacionados con los procedimientos constructivos, la maquinaria y los medios auxiliares necesarios para realizar la compactación y la mejora del terreno. La novedad de esta obra radica en el tratamiento constructivo de estas técnicas, donde las fotografías e ilustraciones añaden valor a las explicaciones realizadas en el texto. Además de incluir una amplia bibliografía, se aportan cuestiones de autoevaluación con respuestas para el aprendizaje de los conceptos más importantes. Es un libro de texto dirigido a estudiantes de ingeniería y arquitectura, con una fuerte orientación hacia la construcción. No obstante, también se estructura como un manual de consulta para los profesionales relacionados con el proyecto y la construcción de obras. Además, este libro complementa los aspectos constructivos de otro tipo de textos estructurales o geotécnicos, más orientados a la teoría y los problemas.

El libro tiene 426 páginas, 259 figuras y fotografías, así como 325 cuestiones de autoevaluación resueltas. Los contenidos de esta publicación han sido evaluados mediante el sistema doble ciego, siguiendo el procedimiento que se recoge en: http://www.upv.es/entidades/AEUPV/info/891747normalc.html

Este libro lo podéis conseguir, tanto en formato papel como digital, en la propia Universitat Politècnica de València o bien directamente por internet en esta dirección: https://www.lalibreria.upv.es/portalEd/UpvGEStore/products/p_428-3-1

Sobre el autor: Víctor Yepes Piqueras. Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. Catedrático de Universidad del Departamento de Ingeniería de la Construcción y Proyectos de Ingeniería Civil de la Universitat Politècnica de València. Número 1 de su promoción, ha desarrollado su vida profesional en empresas constructoras, en el sector público y en el ámbito universitario. Es director académico del Máster Universitario en Ingeniería del Hormigón (acreditado con el sello EUR-ACE®), investigador del Instituto de Ciencia y Tecnología del Hormigón (ICITECH) y profesor visitante en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Imparte docencia en asignaturas de grado y posgrado relacionadas con procedimientos de construcción y gestión de obras, calidad e innovación, modelos predictivos y optimización en la ingeniería. Sus líneas de investigación actuales se centran en la optimización multiobjetivo, la sostenibilidad y el análisis de ciclo de vida de puentes y estructuras de hormigón.

Referencia:

YEPES, V. (2021). Procedimientos de construcción para la compactación y mejora del terreno. Colección Manual de Referencia, 1ª edición. Editorial Universitat Politècnica de València, 426 pp. Ref. 428. ISBN: 978-84-9048-603-0.

A continuación os paso las primeras páginas del libro, con el índice, para hacerse una idea del contenido desarrollado.

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Prólogo y reflexiones sobre la docencia de la asignatura de Procedimientos de Construcción

Estoy en este momento revisando la última prueba de imprenta de un Manual de Referencia (revisado por el sistema doble ciego) de la Universitat Politècnica de València, del cual soy autor. Se trata de un libro de 422 páginas, 259 ilustraciones y 325 preguntas de autoevaluación que se denomina “Procedimientos de construcción para la compactación y mejora del terreno”. Su referencia es el número 428 y os pasaré el enlace para que lo podáis conseguir en cuanto se publique.

Sin embargo, no me he podido resistir a adelantar el prólogo que he escrito a este libro y que, además de presentarlo, sirve como reflexión a la docencia de la asignatura “Procedimientos de Construcción” que actualmente se imparte en los grados de ingeniería civil y de ingeniería de obras públicas de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos de Valencia.

Prólogo

La docencia de una asignatura como “Procedimientos de Construcción” resulta complicada debido a que se debe enseñar al futuro ingeniero civil cómo hacer las obras. Eso incluye no solo las fases constructivas, sino también aspectos de gran relevancia como es el conocimiento de la maquinaria y los medios auxiliares, la seguridad y salud, el impacto ambiental de las obras y, sobre todo, el conocimiento básico necesario en geotecnia, resistencia de materiales, mecánica, cálculo de estructuras, gestión de empresas, planificación de obras y economía. Todo ello para acertar en la selección del mejor proceso constructivo para una obra determinada. Y todo este conocimiento debe abordarse con una experiencia nula o muy pequeña del alumnado en relación con la realidad física de las obras.

La pregunta es inmediata: ¿Cómo podemos llevar la obra al estudiante en un aula? Resulta evidente la necesidad de que los futuros profesionales pisen las obras lo máximo posible y realicen prácticas en empresa. Pero esta experiencia no es suficiente para adquirir las competencias y conocimientos necesarios.

El problema crece cuando este tipo de asignaturas de construcción se imparten en los primeros cursos de los grados. En los planes antiguos, “Procedimientos Generales de Construcción y Organización de Obras” se impartía en los últimos cursos, incluso en paralelo con la asignatura de Proyectos. Ello permitía al estudiante aplicar todos los conocimientos adquiridos con anterioridad y hacía que la asignatura se pudiese entender con mayor profundidad.

Pero el problema sigue siendo el mismo. Me acuerdo que esta asignatura la estudié en cuarto curso de la titulación de ingeniero de caminos, canales y puertos, cuando el plan se desarrollaba en seis cursos. En aquella época, hablo del año 1986, D. Hermelando Corbí Abad, profesor de la asignatura, utilizaba todos los medios disponibles en su momento como el proyector de opacos, fotografías que nos pasábamos de mano en mano o catálogos de máquinas o de empresas para que nos imagináramos cómo se podría hacer una obra. Y, sobre todo, pizarra, mucha pizarra. Tomábamos apuntes en clase y teníamos fotocopias mecanografiadas por el profesor que nos servían a modo de texto. Todo se complementaba con abundantes visitas a obras y excursiones organizadas que nos abrían los ojos, el compañerismo y la ilusión por esta apasionante profesión.

Cuando en el año 1994 empecé a impartir por primera vez la asignatura, tuve que recurrir a todo tipo de estrategias disponibles en aquel momento. Era entonces profesor asociado, más joven, pero con años ya de experiencia en el sector público y privado. Usábamos vídeos en VHS, transparencias que nos permitían ahorrar mucha pizarra, fotografías y catálogos. Se completaba con las visitas a obra. Pero el problema de acercar la realidad al estudiante seguía siendo complicado. Además, las técnicas constructivas, y sobre todo las máquinas y los elementos auxiliares, cambiaban de forma acelerada. Todo demasiado rápido para los medios de los que disponíamos.

Sin embargo, la aparición de los ordenadores, el PowerPoint y, sobre todo, internet, revolucionó todo con el cambio de milenio. Nada volvió a ser como antes. La información y las novedades se acumularon en mi ordenador. Cientos de fotografías, vídeos y documentación se perdía entre las carpetas de mi disco duro. Había que poner orden.

El descubrimiento de las ventajas que tenía disponer de una bitácora digital fue algo que revolucionó mi forma de impartir las clases de esta asignatura. En efecto, el 5 de marzo de 2012 empecé el que iba a ser un blog personal para organizar la información que tenía dispersa en mi ordenador. Fue una auténtica revolución. Podía ordenar por entradas información dispersa sobre temas de construcción, incluyendo fotografías, vídeos y enlaces a otros documentos. Nada volvería a ser lo mismo. Los estudiantes disponían de una herramienta con la que tener toda la información, no solo de clase, sino que esta la podían ampliar hasta donde quisieran buceando en internet. Así nació el “Blog de Víctor Yepes” https://victoryepes.blogs.upv.es/, que hoy tiene casi 1 500 artículos y más de 5 000 visitas diarias. Además, con la potencia de las redes sociales, toda la información se multiplicaba de forma exponencial.

El paso siguiente era el lógico y normal. Se trataba de depurar y mejorar la información para hacer un libro. Así surgieron una serie de textos docentes que, bajo el nombre de Manual de Referencia, edita la Universitat Politècnica de València. Además, este libro en particular, sirve de base para un curso en línea, gratuito y masivo que, bajo el mismo nombre, se imparte desde este mismo año en la plataforma edX, donde colabora nuestra universidad. En el enlace https://www.edx.org/course/introduccion-procedimientos-construccion-obra-civil se puede acceder al curso en cualquier momento, con la posibilidad de obtener un certificado oficial de dicho curso.

En cuanto a la estructura de este libro, realmente tiene dos grandes partes, una dedicada a la compactación mecánica de los suelos y, la segunda, que se centra en las técnicas de mejora del terreno. Si bien es cierto que la compactación mecánica no deja de ser una técnica de mejora del terreno, por su importancia y generalidad en las obras, se ha tratado como una parte diferenciada. También podréis encontrar un buen número de referencias y una cantidad nada desdeñable de preguntas tipo test con sus respuestas para averiguar si habéis comprendido bien lo explicado en el texto. Al final podréis localizar un índice temático que, de buen seguro, servirá para encontrar información de forma rápida.

La necesidad de un libro como este surge para rellenar un hueco editorial importante. Si bien se pueden encontrar cientos de libros de gran calidad en materias tales como la geotecnia y la mecánica de suelos, la resistencia de materiales y cálculo de estructuras, la hidráulica, etc., son pocos los que se dedican a desgranar los procedimientos constructivos, la maquinaria y los medios auxiliares necesarios para ello.

El reto fue bastante importante. Se trató de estructurar información muy dispersa, técnicas clásicas con otras de rabiosa actualidad, maquinaria que, año tras año, deja a los modelos anteriores obsoletos. Y, afortunadamente, es posible que, en unos años, parte de las técnicas contenidas en este volumen queden como recuerdos del pasado, dando paso a la robotización, la inteligencia artificial, los gemelos digitales y otras muchas técnicas emergentes que van a desdibujar la forma que tenemos de entender las obras.

Por último, y aunque se ha realizado un esfuerzo minucioso por revisar el manuscrito, es posible que pueda existir alguna errata típica de una obra que se edita por vez primera. Asumo la responsabilidad de cualquier error y, en la medida de lo posible, trataré de subsanar y mejorar los aspectos o sugerencias que me hagáis llegar.

Este libro, a partir de ahora, deja de ser mío y pasa a ser vuestro. Espero que sirva para todos los estudiantes y profesionales que quieran introducirse al maravilloso mundo de las obras, y en particular, a aquellos que tienen que luchar, día a día con el terreno donde se van a asentar.

Valencia, a 21 de julio de 2021

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