Ecuación de Euler-Eytelwein: tensión de la correa en una polea

Mecanismos tales como el freno de cinta o las bandas transportadoras utilizan el rozamiento entre la correa y el disco sobre el que giran. La tensión fundamental que describe la tensión de la correa sobre una polea se denomina ecuación de Euler-Eytelwein.

A continuación os paso la demostración de esta ecuación y la resolución de un problema. Son apuntes sobre este tema que suelo impartir a mis estudiantes de la asignatura de Procedimientos de Construcción. Además, os dejo un vídeo de canalfdet para obtener las condiciones de carga que sacan a un sistema del equilibrio. Espero que todo os sea de interés.

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El vídeo es el siguiente:

 

Ecuación fundamental de la estática de los cables

A continuación se deduce la ecuación fundamental de la estática de los cables. Para ello suponemos un cable infinitamente flexible, sometido a la acción de su peso propio y a una serie de cargas verticales aisladas, diferentes y distribuidas de un modo cualquiera (tal y como vemos en la figura).

Esta ecuación demuestra que la distancia de un punto del cable a la cuerda que une dos puntos cualesquiera se puede calcular como el cociente entre el momento isostático de todas las fuerzas situadas a la derecha (o a la izquierda) de dicho punto y la tensión horizontal del cable.

Veamos a continuación la demostración de esta ecuación.

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Aproximación a la catenaria por medio de la parábola

En cables bien tensados y con poca flecha, se puede aproximar la catenaria a una parábola. Es una simplificación muy útil a efectos de cálculo. En este caso se sustituye el peso del cable por una sobrecarga uniforme horizontal equivalente. Además, en un tramo suficientemente pequeño, se puede aproximar la longitud real de la catenaria por la cuerda que une dos puntos. También es interesante comprobar que, con esta aproximación, la componente de la tensión horizontal del cable permanece constante.

La mayoría de los cálculos se hacen utilizando parábolas con esta simplificación, aprovechando las propiedades de la catenaria.

A continuación os dejo resuelta la aproximación de la ecuación de la catenaria a una parábola. Espero que os sea útil.

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Propiedades de la catenaria

En la resolución de muchos problemas de cables que se plantean en la asignatura de Procedimientos Generales de Construcción y Organización de Obras se utilizan una serie de propiedades que tiene la catenaria. Estamos hablando de uno de los temas clásicos que se han impartido en esta asignatura desde sus orígenes, cuando se llamaba “Maquinaria y medios auxiliares” en la Escuela de Ingenieros de Caminos de Madrid. Las propiedades de la catenaria se deducen fácilmente. Os dejo a continuación la demostración. Espero que os sea de interés.

Como curiosidad os diré que la figura podéis ver de la catenaria me ha costado algo de trabajo. He empleado una hoja Excel para dibujarme una catenaria de parámetro la unidad. Fijarse que la distancia “s” que se representa tiene que tener la misma longitud que la distancia desde el punto más bajo de la catenaria hasta el punto considerado.

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Ecuación de un cable suspendido sometido a su propio peso: La catenaria

En el ámbito de la construcción, los cables constituyen un elemento de gran importancia. Baste recordar su uso en grúas, blondines, venteado de estructuras, etc. Los cables se consideran en la práctica como unos sólidos prismáticos cuya rigidez a flexión, torsión y cortadura es despreciable. Tampoco trabajan a compresión, por lo que son elementos que solo resisten esfuerzos de tracción.

Cuando un cable se encuentra suspendido entre dos puntos y solo está sometido a su propio peso, el cable adopta una curva que se denomina catenaria. No obstante, la forma de la curva adoptada dependerá del tipo de cargas que actúe sobre el cable.

Os paso a continuación la demostración de la ecuación de la catenaria. Este tema era un clásico de la asignatura Procedimientos Generales de Construcción y Organización de Obras, aunque en muchos planes de estudios actuales se estudie en asignaturas relacionadas con el cálculo de estructuras.

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El jeep que viaja por un cable, la rectificación del arco y la fórmula de Stevenin

Andaba estudiando 4º curso de la carrera de ingenieros de caminos, canales y puertos de Valencia, cuando en la asignatura de Procedimientos Generales de Construcción y Organización de Obras, el profesor Hermelando Corbí nos explicaba problemas de cables. Uno de dichos problemas lo he rescatado de mis viejos apuntes. Trata de un jeep que tiene que pasar por un puente militar formado por un cable. ¡Quién sabe cómo puede viajar un jeep por un solo cable! Pero bueno, el problema era el que era y había que resolverlo.

Con los planes de estudios actuales, los problemas de cables no se estudian en esta asignatura. Se reserva solo su estudio cualitativo, dejando a otras asignaturas de cálculo de estructuras este tema tan interesante.

El problema que os presento resuelto a continuación utiliza varias fórmulas dimensionales y aproximaciones que estudiábamos en aquel momento. Podéis ver cómo el problema sigue resuelto en unidades diferentes a las que empleamos ahora. Pero sirve para ver cómo ha cambiado la forma de plantear y resolver los problemas. Las expresiones usadas en el problema provienen del desarrollo teórico de las ecuaciones de equilibrio de un elemento de cable, de la ecuación fundamental de la estática de cables, de la rectificación del arco y de la fórmula de Stevenin.

Espero que este problema resuelto le traiga recuerdos a más de un compañero de promoción. Si encontráis alguna errata, por favor, me lo indicáis. Por cierto, si tenéis alguna fotografía de un jeep paseando por un puente militar formado por un solo cable, me lo mandáis.

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La Editorial de la Universitat Politècnica de València destaca cinco libros imprescindibles

Es un honor que la revista Publishers Weekly, en su número de abril del 2022, haya destacado uno de mis libros: Procedimientos de construcción de cimentaciones y estructuras de contención, como uno de los cinco ejemplares imprescindibles dentro de la producción editorial de la Universitat Politècnica de València. El libro tiene 480 páginas, 439 figuras y fotografías, así como 430 cuestiones de autoevaluación resueltas.

Tal y como apunta esta revista, “la revolución incruenta es la marca de agua de quien vislumbra un nuevo mundo y lo hace posible sin efectos colaterales“. En esta revolución se encuentra la editorial de la Universitat Politècnica de València, que en 2010 dio un giro a su producción, dirigida hasta entonces a la formación interna del alumnado, para adentrarse con éxito en la proyección internacional.

Es por este motivo la importancia de destacar uno de mis libros, dentro del gran volumen de libros y revistas editados por esta editorial, que asciende a 1.119, tal y como se recoge en esta publicación.

Os paso la entrevista realizada a la directora de la editorial, Reme Pérez García.

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Crítica de la catedrática M.ª Carmen Rubio Gámez a mi libro en la Revista de Obras Públicas

Resulta un privilegio haber recibido una crítica de mi libro “Procedimientos de construcción de cimentaciones y estructuras de contención” por parte de la catedrática de universidad M.ª Carmen Rubio Gámez, de la Universidad de Granada.

El honor es doble cuando se publica dicha reseña en la Revista de Obras Públicas, que es el órgano profesional de los ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, revista fundada en 1853, que es la publicación periódica no diaria más antigua en España.

Podéis leer la reseña completa en el siguiente enlace: https://www.revistadeobraspublicas.com/resenas/procedimientos-de-construccion-de-cimentaciones-y-estructuras-de-contencion/.

Asimismo, Este libro lo podéis conseguir en la propia Universitat Politècnica de València o bien directamente por internet en esta dirección: https://www.lalibreria.upv.es/portalEd/UpvGEStore/products/p_328-9-2

También os paso la crítica a continuación. Agradezco a Mª Carmen Rubio, Mayca para sus amigos, sus comentarios positivos de este libro, que ya está en su segunda edición.

“Una de las dificultades más importantes que nos encontramos los que nos dedicamos a la docencia de una asignatura como “Procedimientos de construcción” es explicar en clase las técnicas constructivas, los equipos, las instalaciones auxiliares y la maquinaria con los que se ejecutan en obra las soluciones de proyecto; es decir, llevar al aula la experiencia práctica. Para acercar al futuro ingeniero civil al apasionante mundo de la construcción se hace necesario agudizar el ingenio para facilitar al alumno fotografías, vídeos y documentación que permitan este acercamiento. Es por ello que resulta difícil encontrar libros donde se reúna este tipo de información práctica sobre métodos, maquinaria y medios auxiliares aplicados al caso particular de la construcción de cimentaciones y estructuras de contención.

En efecto, son abundantes los libros de texto sobre geotecnia, mecánica de suelos, resistencia de materiales o cálculo de estructuras, pues los fundamentos básicos de estas materias suelen permanecer en el tiempo y forman la base de las enseñanzas técnicas.

Sin embargo, las técnicas constructivas, y en especial la maquinaria, avanzan más rápidamente, por lo que es difícil mantener actualizado un manual como el que nos presenta Víctor Yepes en este volumen.

El texto, fácil de entender incluso por lectores sin una profunda formación técnica, permite abordar los aspectos constructivos de las cimentaciones y las estructuras de contención. Se agradece la gran cantidad de material gráfico y las referencias aportadas, lo cual permite ampliar la información en caso necesario. También resultan de interés las más de 400 cuestiones planteadas al final del texto, con sus respuestas, que permiten al lector realizar un ejercicio de autoevaluación.

Por tanto, nos encontramos ante un texto universitario que no solo permite apoyar la docencia en las aulas de los futuros titulados en Ingeniería y Arquitectura, sino que también sirve para dar una visión conjunta y bien documentada de los procedimientos constructivos a cualquier profesional que se dedique al proyecto y ejecución de obras.

Por último, me gustaría resaltar la intensa labor divulgadora realizada por el autor en esta última década a través de las redes sociales. Es difícil no tropezarse con el blog de Víctor Yepes cuando se realiza alguna consulta técnica en los buscadores disponibles en internet y, dado el perfil de los jóvenes ingenieros y arquitectos, Víctor ha desarrollado una gran labor en la formación práctica de este colectivo, facilitando un acercamiento de los procedimientos de construcción y equipos. Todo este trabajo desinteresado, de mucha calidad y gran rigor técnico, no hubiese sido posible sin los años de experiencia del autor tanto en la empresa pública como privada, así como de los años dedicados a la docencia y a la investigación universitaria en el ámbito de la ingeniería de la construcción”.

Os dejo también un vídeo que he grabado presentando este mismo libro. Espero que os sea de interés.

Procedimientos de construcción para la compactación y mejora del terreno

Os presento la primera edición del libro que he publicado sobre procedimientos de construcción para la compactación y mejora del terreno. Se trata de un manual de referencia que trata de los aspectos relacionados con los procedimientos constructivos, la maquinaria y los medios auxiliares necesarios para realizar la compactación y la mejora del terreno. La novedad de esta obra radica en el tratamiento constructivo de estas técnicas, donde las fotografías e ilustraciones añaden valor a las explicaciones realizadas en el texto. Además de incluir una amplia bibliografía, se aportan cuestiones de autoevaluación con respuestas para el aprendizaje de los conceptos más importantes. Es un libro de texto dirigido a estudiantes de ingeniería y arquitectura, con una fuerte orientación hacia la construcción. No obstante, también se estructura como un manual de consulta para los profesionales relacionados con el proyecto y la construcción de obras. Además, este libro complementa los aspectos constructivos de otro tipo de textos estructurales o geotécnicos, más orientados a la teoría y los problemas.

El libro tiene 426 páginas, 259 figuras y fotografías, así como 325 cuestiones de autoevaluación resueltas. Los contenidos de esta publicación han sido evaluados mediante el sistema doble ciego, siguiendo el procedimiento que se recoge en: http://www.upv.es/entidades/AEUPV/info/891747normalc.html

Este libro lo podéis conseguir, tanto en formato papel como digital, en la propia Universitat Politècnica de València o bien directamente por internet en esta dirección: https://www.lalibreria.upv.es/portalEd/UpvGEStore/products/p_428-3-1

Sobre el autor: Víctor Yepes Piqueras. Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. Catedrático de Universidad del Departamento de Ingeniería de la Construcción y Proyectos de Ingeniería Civil de la Universitat Politècnica de València. Número 1 de su promoción, ha desarrollado su vida profesional en empresas constructoras, en el sector público y en el ámbito universitario. Es director académico del Máster Universitario en Ingeniería del Hormigón (acreditado con el sello EUR-ACE®), investigador del Instituto de Ciencia y Tecnología del Hormigón (ICITECH) y profesor visitante en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Imparte docencia en asignaturas de grado y posgrado relacionadas con procedimientos de construcción y gestión de obras, calidad e innovación, modelos predictivos y optimización en la ingeniería. Sus líneas de investigación actuales se centran en la optimización multiobjetivo, la sostenibilidad y el análisis de ciclo de vida de puentes y estructuras de hormigón.

Referencia:

YEPES, V. (2021). Procedimientos de construcción para la compactación y mejora del terreno. Colección Manual de Referencia, 1ª edición. Editorial Universitat Politècnica de València, 426 pp. Ref. 428. ISBN: 978-84-9048-603-0.

A continuación os paso las primeras páginas del libro, con el índice, para hacerse una idea del contenido desarrollado.

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Prólogo y reflexiones sobre la docencia de la asignatura de Procedimientos de Construcción

Estoy en este momento revisando la última prueba de imprenta de un Manual de Referencia (revisado por el sistema doble ciego) de la Universitat Politècnica de València, del cual soy autor. Se trata de un libro de 422 páginas, 259 ilustraciones y 325 preguntas de autoevaluación que se denomina “Procedimientos de construcción para la compactación y mejora del terreno”. Su referencia es el número 428 y os pasaré el enlace para que lo podáis conseguir en cuanto se publique.

Sin embargo, no me he podido resistir a adelantar el prólogo que he escrito a este libro y que, además de presentarlo, sirve como reflexión a la docencia de la asignatura “Procedimientos de Construcción” que actualmente se imparte en los grados de ingeniería civil y de ingeniería de obras públicas de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos de Valencia.

Prólogo

La docencia de una asignatura como “Procedimientos de Construcción” resulta complicada debido a que se debe enseñar al futuro ingeniero civil cómo hacer las obras. Eso incluye no solo las fases constructivas, sino también aspectos de gran relevancia como es el conocimiento de la maquinaria y los medios auxiliares, la seguridad y salud, el impacto ambiental de las obras y, sobre todo, el conocimiento básico necesario en geotecnia, resistencia de materiales, mecánica, cálculo de estructuras, gestión de empresas, planificación de obras y economía. Todo ello para acertar en la selección del mejor proceso constructivo para una obra determinada. Y todo este conocimiento debe abordarse con una experiencia nula o muy pequeña del alumnado en relación con la realidad física de las obras.

La pregunta es inmediata: ¿Cómo podemos llevar la obra al estudiante en un aula? Resulta evidente la necesidad de que los futuros profesionales pisen las obras lo máximo posible y realicen prácticas en empresa. Pero esta experiencia no es suficiente para adquirir las competencias y conocimientos necesarios.

El problema crece cuando este tipo de asignaturas de construcción se imparten en los primeros cursos de los grados. En los planes antiguos, “Procedimientos Generales de Construcción y Organización de Obras” se impartía en los últimos cursos, incluso en paralelo con la asignatura de Proyectos. Ello permitía al estudiante aplicar todos los conocimientos adquiridos con anterioridad y hacía que la asignatura se pudiese entender con mayor profundidad.

Pero el problema sigue siendo el mismo. Me acuerdo que esta asignatura la estudié en cuarto curso de la titulación de ingeniero de caminos, canales y puertos, cuando el plan se desarrollaba en seis cursos. En aquella época, hablo del año 1986, D. Hermelando Corbí Abad, profesor de la asignatura, utilizaba todos los medios disponibles en su momento como el proyector de opacos, fotografías que nos pasábamos de mano en mano o catálogos de máquinas o de empresas para que nos imagináramos cómo se podría hacer una obra. Y, sobre todo, pizarra, mucha pizarra. Tomábamos apuntes en clase y teníamos fotocopias mecanografiadas por el profesor que nos servían a modo de texto. Todo se complementaba con abundantes visitas a obras y excursiones organizadas que nos abrían los ojos, el compañerismo y la ilusión por esta apasionante profesión.

Cuando en el año 1994 empecé a impartir por primera vez la asignatura, tuve que recurrir a todo tipo de estrategias disponibles en aquel momento. Era entonces profesor asociado, más joven, pero con años ya de experiencia en el sector público y privado. Usábamos vídeos en VHS, transparencias que nos permitían ahorrar mucha pizarra, fotografías y catálogos. Se completaba con las visitas a obra. Pero el problema de acercar la realidad al estudiante seguía siendo complicado. Además, las técnicas constructivas, y sobre todo las máquinas y los elementos auxiliares, cambiaban de forma acelerada. Todo demasiado rápido para los medios de los que disponíamos.

Sin embargo, la aparición de los ordenadores, el PowerPoint y, sobre todo, internet, revolucionó todo con el cambio de milenio. Nada volvió a ser como antes. La información y las novedades se acumularon en mi ordenador. Cientos de fotografías, vídeos y documentación se perdía entre las carpetas de mi disco duro. Había que poner orden.

El descubrimiento de las ventajas que tenía disponer de una bitácora digital fue algo que revolucionó mi forma de impartir las clases de esta asignatura. En efecto, el 5 de marzo de 2012 empecé el que iba a ser un blog personal para organizar la información que tenía dispersa en mi ordenador. Fue una auténtica revolución. Podía ordenar por entradas información dispersa sobre temas de construcción, incluyendo fotografías, vídeos y enlaces a otros documentos. Nada volvería a ser lo mismo. Los estudiantes disponían de una herramienta con la que tener toda la información, no solo de clase, sino que esta la podían ampliar hasta donde quisieran buceando en internet. Así nació el “Blog de Víctor Yepes” https://victoryepes.blogs.upv.es/, que hoy tiene casi 1 500 artículos y más de 5 000 visitas diarias. Además, con la potencia de las redes sociales, toda la información se multiplicaba de forma exponencial.

El paso siguiente era el lógico y normal. Se trataba de depurar y mejorar la información para hacer un libro. Así surgieron una serie de textos docentes que, bajo el nombre de Manual de Referencia, edita la Universitat Politècnica de València. Además, este libro en particular, sirve de base para un curso en línea, gratuito y masivo que, bajo el mismo nombre, se imparte desde este mismo año en la plataforma edX, donde colabora nuestra universidad. En el enlace https://www.edx.org/course/introduccion-procedimientos-construccion-obra-civil se puede acceder al curso en cualquier momento, con la posibilidad de obtener un certificado oficial de dicho curso.

En cuanto a la estructura de este libro, realmente tiene dos grandes partes, una dedicada a la compactación mecánica de los suelos y, la segunda, que se centra en las técnicas de mejora del terreno. Si bien es cierto que la compactación mecánica no deja de ser una técnica de mejora del terreno, por su importancia y generalidad en las obras, se ha tratado como una parte diferenciada. También podréis encontrar un buen número de referencias y una cantidad nada desdeñable de preguntas tipo test con sus respuestas para averiguar si habéis comprendido bien lo explicado en el texto. Al final podréis localizar un índice temático que, de buen seguro, servirá para encontrar información de forma rápida.

La necesidad de un libro como este surge para rellenar un hueco editorial importante. Si bien se pueden encontrar cientos de libros de gran calidad en materias tales como la geotecnia y la mecánica de suelos, la resistencia de materiales y cálculo de estructuras, la hidráulica, etc., son pocos los que se dedican a desgranar los procedimientos constructivos, la maquinaria y los medios auxiliares necesarios para ello.

El reto fue bastante importante. Se trató de estructurar información muy dispersa, técnicas clásicas con otras de rabiosa actualidad, maquinaria que, año tras año, deja a los modelos anteriores obsoletos. Y, afortunadamente, es posible que, en unos años, parte de las técnicas contenidas en este volumen queden como recuerdos del pasado, dando paso a la robotización, la inteligencia artificial, los gemelos digitales y otras muchas técnicas emergentes que van a desdibujar la forma que tenemos de entender las obras.

Por último, y aunque se ha realizado un esfuerzo minucioso por revisar el manuscrito, es posible que pueda existir alguna errata típica de una obra que se edita por vez primera. Asumo la responsabilidad de cualquier error y, en la medida de lo posible, trataré de subsanar y mejorar los aspectos o sugerencias que me hagáis llegar.

Este libro, a partir de ahora, deja de ser mío y pasa a ser vuestro. Espero que sirva para todos los estudiantes y profesionales que quieran introducirse al maravilloso mundo de las obras, y en particular, a aquellos que tienen que luchar, día a día con el terreno donde se van a asentar.

Valencia, a 21 de julio de 2021

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