En cables bien tensados y con poca flecha, se puede aproximar la catenaria a una parábola. Es una simplificación muy útil a efectos de cálculo. En este caso se sustituye el peso del cable por una sobrecarga uniforme horizontal equivalente. Además, en un tramo suficientemente pequeño, se puede aproximar la longitud real de la catenaria por la cuerda que une dos puntos. También es interesante comprobar que, con esta aproximación, la componente de la tensión horizontal del cable permanece constante.
La mayoría de los cálculos se hacen utilizando parábolas con esta simplificación, aprovechando las propiedades de la catenaria.
A continuación os dejo resuelta la aproximación de la ecuación de la catenaria a una parábola. Espero que os sea útil.
En la resolución de muchos problemas de cables que se plantean en la asignatura de Procedimientos Generales de Construcción y Organización de Obras se utilizan una serie de propiedades que tiene la catenaria. Estamos hablando de uno de los temas clásicos que se han impartido en esta asignatura desde sus orígenes, cuando se llamaba «Maquinaria y medios auxiliares» en la Escuela de Ingenieros de Caminos de Madrid. Las propiedades de la catenaria se deducen fácilmente. Os dejo a continuación la demostración. Espero que os sea de interés.
Como curiosidad os diré que la figura podéis ver de la catenaria me ha costado algo de trabajo. He empleado una hoja Excel para dibujarme una catenaria de parámetro la unidad. Fijarse que la distancia «s» que se representa tiene que tener la misma longitud que la distancia desde el punto más bajo de la catenaria hasta el punto considerado.
En el ámbito de la construcción, los cables constituyen un elemento de gran importancia. Baste recordar su uso en grúas, blondines, venteado de estructuras, etc. Los cables se consideran en la práctica como unos sólidos prismáticos cuya rigidez a flexión, torsión y cortadura es despreciable. Tampoco trabajan a compresión, por lo que son elementos que solo resisten esfuerzos de tracción.
Cuando un cable se encuentra suspendido entre dos puntos y solo está sometido a su propio peso, el cable adopta una curva que se denomina catenaria. No obstante, la forma de la curva adoptada dependerá del tipo de cargas que actúe sobre el cable.
Os paso a continuación la demostración de la ecuación de la catenaria. Este tema era un clásico de la asignatura Procedimientos Generales de Construcción y Organización de Obras, aunque en muchos planes de estudios actuales se estudie en asignaturas relacionadas con el cálculo de estructuras.
Andaba estudiando 4º curso de la carrera de ingenieros de caminos, canales y puertos de Valencia, cuando en la asignatura de Procedimientos Generales de Construcción y Organización de Obras, el profesor Hermelando Corbí nos explicaba problemas de cables. Uno de dichos problemas lo he rescatado de mis viejos apuntes. Trata de un jeep que tiene que pasar por un puente militar formado por un cable. ¡Quién sabe cómo puede viajar un jeep por un solo cable! Pero bueno, el problema era el que era y había que resolverlo.
Con los planes de estudios actuales, los problemas de cables no se estudian en esta asignatura. Se reserva solo su estudio cualitativo, dejando a otras asignaturas de cálculo de estructuras este tema tan interesante.
El problema que os presento resuelto a continuación utiliza varias fórmulas dimensionales y aproximaciones que estudiábamos en aquel momento. Podéis ver cómo el problema sigue resuelto en unidades diferentes a las que empleamos ahora. Pero sirve para ver cómo ha cambiado la forma de plantear y resolver los problemas. Las expresiones usadas en el problema provienen del desarrollo teórico de las ecuaciones de equilibrio de un elemento de cable, de la ecuación fundamental de la estática de cables, de la rectificación del arco y de la fórmula de Stevenin.
Espero que este problema resuelto le traiga recuerdos a más de un compañero de promoción. Si encontráis alguna errata, por favor, me lo indicáis. Por cierto, si tenéis alguna fotografía de un jeep paseando por un puente militar formado por un solo cable, me lo mandáis.
Hoy, 2 de octubre, pero del año 1883, nació en Praga Karl von Terzaghi, que fue un ingeniero, reconocido como el padre de la mecánica de suelos. Para celebrar esta efeméride, se ha organizado un Encuentro Profesional Geololotecnia 2022.
Mi agradecimiento a los organizadores de este evento, tanto a Germán Sánchez (@ingeodo) como a Manuel Romana (@MRGdeviaje).
En dicho encuentro tuve la ocasión de presentar una comunicación denominada «La comunicación multicanal de la geotecnia y sus procedimientos constructivos«. Se trata de una reflexión muy personal respecto a la forma que tengo de comunicar con mis estudiantes y dejar en abierto el conocimiento en las redes sociales. Os dejo el vídeo completo por si os puede resultar de interés.
De acuerdo con el RD 487/1997, entendemos por manipulación manual de cargas cualquier operación de transporte o sujeción de una carga por parte de uno o varios trabajadores, como el levantamiento, la colocación, el empuje, la tracción o el desplazamiento. Os dejo a continuación la metodología de evaluación de este riesgo del Instituto Nacional de Seguridad e Higiene en el Trabajo:
El 20 de julio del 2022 se editó la nueva norma UNE 180201 que trata sobre el diseño general, requisitos de comportamiento y verificaciones de los encofrados. Esta versión sustituye a la que estaba vigente, del año 2016. Esta norma ha sido elaborada por el Comité Técnico CTN 180 Equipamiento para trabajos temporales en obra, cuya secretaría desempeña la Asociación Española de Fabricantes de Maquinaria de Construcción, Obras Públicas y Minería (ANMOPYC).
Esta norma especifica los requisitos de comportamiento, los métodos de diseño (estructural y general) y las comprobaciones para encofrados. Los requisitos se aplican a los diferentes tipos de encofrados que habitualmente se emplean en la construcción.
Esta norma soluciona un par de problemas. En primer lugar, había una serie de productos sin normalizar (muros, encofrados horizontales, trepas, puntales, etc.) que requerían regulación. Por otra parte, había que normalizar aspectos que suponen deficiencias y mala praxis a lo largo de la vida útil de encofrado: diseño y fabricación deficientes, mal uso, mantenimiento incorrecto o falta de información (AFECI, 2021). Además, y esto es lo más importante, el vigente Código Estructural recoge en su articulado el cumplimiento de esta norma de cimbras.
Os dejo el vídeo de una ponencia desarrollada por Lluís Chabert Ramon (Sistemas Técnicos de Encofrados) en unas jornadas de la Associació de Consultors d’Estructures.
Os dejo un extracto de la norma proporcionada por la Asociación Española de Normalización UNE. A esta asociación hay que dirigirse para adquirir dicho documento.
En un artículo anterior definimos la distancia crítica de transporte en un movimiento de tierras como aquella distancia en la que el equipo de cargadoras y camiones está equilibrado. Es decir, ni sobran ni faltan camiones o cargadoras. O dicho de otra forma, es la distancia de transporte en la que no existen esperas en las máquinas. Esta es una distancia teórica, puesto que para calcularla debemos conocer todos los datos de antemano, y estos no son deterministas. Por otra parte, en obra ocurre lo contrario: tenemos una distancia de transporte como dato, pero en este caso se trataría de saber cuántos camiones y cargadoras serían necesarios para que no existiesen demoras. Afortunadamente en obra se puede corregir rápidamente cualquier desfase. En dicho artículo proporcionamos, incluso, una calculadora en línea para que se pudiesen visualizar los cambios.
Aquí lo que presento es un problema resuelto que, espero, os sea de interés. Este problema lo puse en su momento en un examen de Procedimientos de Construcción, en la ETS de Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos de Valencia.
En un artículo anterior se describió cómo se puede determinar la producción de los equipos y cuáles eran los factores de producción. Estos factores eran cinco: factor de disponibilidad, disponibilidad intrínseca, factor de utilización, factor de aprovechamiento e índice de paralizaciones. Estos factores se encuentran relacionados entre sí, de forma que conociendo dos de ellos es posible deducir los otros tres. De esta forma, el número de combinaciones posibles es de 10.
El problema que he detectado en algunos de mis estudiantes es que les cuesta deducir, a partir de las definiciones, las relaciones entre los distintos factores de producción. Es por este motivo por el que he desarrollado la Tabla 1 que indica las definiciones de los factores y cómo a conociendo dos de ellos se pueden deducir los otros tres. Se trata de un ejercicio sencillo que dejo al lector curioso para que lo deduzca.
De esta forma ya sois capaces de resolver algún problema como el siguiente:
De 100 minutos de laborables, una máquina tiene 85 minutos de disponibilidad y 80 minutos de utilización. Determinar: a) los minutos correspondientes a mantenimiento y averías, b) los minutos correspondientes a paradas en el tajo, c) factor de disponibilidad, d) factor de utilización, e) factor de aprovechamiento, f) disponibilidad intrínseca y g) índice de paralizaciones.
Respuestas: a) 15 min; b) 5 min; c) 0,850; d) 0,941; e) 0,800; f) 0,842; g) 0,050
Os dejo también un par de vídeos sobre producción para recordar los conceptos básicos.
Referencias:
PELLICER, E.; YEPES, V.; TEIXEIRA, J.C.; MOURA, H.P.; CATALÁ, J. (2014). Construction Management. Wiley Blackwell, 316 pp. ISBN: 978-1-118-53957-6.
ROJO, J. (2010). Manual de movimiento de tierras a cielo abierto. Fueyo Editores, S.L., Madrid, 926 pp.
En un artículo anterior ya vimos los errores que suelen cometerse en el cálculo de las holguras, especialmente cuando se está trabajando con un diagrama de precedencias. El concepto de holgura se emplea en la planificación para describir la libertad de desplazamiento que, dentro de un cierto intervalo de tiempo, puede tener un suceso o una actividad. También suelen llamarse juegos o tiempos flotantes. En esta entrada vamos a interpretar qué significa cada una de las holguras que existen en una actividad. Esta interpretación es fundamental para el responsable de la tarea, pues debe comprender qué implica el retraso de su actividad en el contexto del proyecto o de la obra que está realizando.
En la Figura 1 se muestra cómo una actividad aij se representa como una flecha orientada desde parte del nodo i y llega al nodo j. A los nodos se les denomina «sucesos» o «acontecimientos«.
Figura 1. Definición de los tiempos disponibles de una actividad
Estos nodos presentan una holgura de suceso o margen de etapa que, en el caso del nodo i, se calcula de la siguiente forma:
En esta expresión, Ei representa la fecha más temprana del acontecimiento i, mientras que Li representa la fecha más tardía.
Con los conceptos anteriores, es fácil demostrar que el margen de etapa en un determinado nudo es igual a la diferencia entre los tiempos «disponible total» y «disponible libre» de cualquier actividad que termine en dicho nudo. En efecto, para una actividad aij, se tiene:
Pues bien, cualquier actividad, como la aij, debe transcurrir entre sus nodos de inicio y de final. Como cada nodo presenta dos fechas, una más temprana y otra más tardía, los nodos de entrada y salida de una actividad dan lugar a cuatro fechas que definen cuatro posibles tiempos disponibles para la actividad (ver Figura 1).
Se define como holgura o margen de una actividad como el tiempo disponible que queda después de descontar la duración de dicha tarea. Como existen cuatro posibles tiempos disponibles, se podrán definir cuatro tipos de holguras para las actividades. Es evidente que si una actividad pertenece a un camino crítico, no tiene holguras.
Recordemos que la fecha más tardía para que la actividad aij pueda empezar, se calcula como Lj – tij. Esta fecha no tiene por qué coincidir con Li, tal y como ya discutimos en un artículo anterior.
Si dibujamos la actividad aij en un diagrama de barras, podríamos representar la actividad empezando lo antes posible, es decir, en el instante Ei. Otra opción sería dibujar la actividad empezando en el instante más tardío del acontecimiento i (volvemos a recordar que no es la fecha más tardía en que puede empezar la actividad aij). De esta forma, podemos visualizar las holguras que presenta la actividad en la Figura 2. Se puede ver una quinta holgura, que es la holgura interferente, como diferencia entre la holgura total y la holgura libre.
Figura 2. Representación de las holguras de una actividad
Vamos a analizar cada una de estas holguras para poder interpretar lo que significan. Ya os adelanto que las holguras más empleadas son la total y la libre. Pero hay más.
Holgura total
La holgura total se define como la diferencia entre el tiempo disponible total y la duración de la actividad. Es una holgura que es mayor o igual a cero y se calcula de la siguiente forma:
Es el margen en que una actividad puede atrasar su inicio más temprano, su término más temprano o su duración, sin atrasar el término programado del proyecto. Si se consume esta holgura, la actividad y el suceso siguiente se hacen críticos. Este es el valor menos probable de todas las holguras, pues está condicionado al hecho de que la actividad comience en el tiempo más optimista y que la actividad no sufra desviación alguna.
La holgura total pertenece al camino del que forma parte la actividad. Es decir, que dicha holgura se puede consumir completamente en una de las tareas del camino o distribuir el margen entre distintas actividades de dicho camino. Es por ello que a la holgura total también suele llamarse «margen de camino«.
Holgura libre
La holgura libre se define como la diferencia entre el tiempo disponible libre y la duración de la actividad, siendo un valor mayor o igual a cero. Se calcula de la siguiente forma:
Se trata de la cantidad de tiempo en que una actividad puede atrasar su inicio más temprano, su término más temprano o aumentar su duración, sin atrasar el inicio más temprano de sus actividades subsecuentes. Esta holgura es muy importante para el gestor de la actividad, pues si mantengo el retraso dentro de este límite, no afectaré a las actividades que vengan después. Si se consume esta holgura, la red permanece inalterada. Por eso se llama a esta holgura «margen de actividad«.
La holgura total se puede obtener sumando a la holgura libre el margen de la etapa de llegada. En efecto,
Como se puede comprobar, la holgura libre no puede ser mayor a la holgura total. Además, la condición necesaria (pero no suficiente) para que exista es que llegue más de una actividad al nodo de terminación de la actividad que estamos analizando.
Holgura interferente
La holgura interferente se define como la diferencia entre la holgura total y la holgura libre. Se interpreta como la cantidad de tiempo que se puede demorar la terminación de una actividad, sin demorar la terminación del proyecto, pero cuyo uso retrasará el inicio de alguna de las actividades siguientes. La holgura interferente es exactamente el margen de etapa del nodo de llegada de la actividad. Se puede calcular de la siguiente forma:
Cuando se representa en un diagrama de barras una actividad, empezando lo antes posible, si existe holgura total, debe diferenciarse con un trazo vertical qué parte es holgura libre y qué parte es interferente. En la Figura 3 se muestra cómo debe hacerse.
Figura 3. Representación de la holgura total, libre e interferente en un diagrama de barras
Holgura independiente
La holgura independiente es la diferencia entre el tiempo disponible independiente y la duración de la actividad. También se llama «holgura mínima«. Suele ser un valor muy pequeño, incluso negativo. Además, siempre es menor o igual a la holgura libre (Figura 2). Se calcula de la siguiente forma:
Esta holgura es el retraso que puede sufrir una actividad con su inicio demorado al máximo por las actividades precedentes, sin que ese retraso ocasione aplazamientos en el comienzo de cualquier actividad posterior. Al igual que la holgura libre, la independiente no se comparte con ninguna otra actividad.
En la práctica no se suele emplear esta holgura, aunque puede ser útil como parámetro representativo de las condiciones más desfavorables en que puede desarrollarse una actividad.
La holgura independiente se puede calcular como la holgura total menos la suma de los márgenes de las etapas inicial y final de la actividad. También como la diferencia entre la holgura libre y el margen de la etapa inicial de la actividad. Por dicho motivo, la holgura independiente no puede superar a la holgura libre, al igual que la holgura libre no podía ser mayor a la holgura total.
Holgura condicionada
La holgura condicionada, también llamada «holgura intermedia«, es el margen en que una actividad puede atrasar su inicio demorado al máximo por las actividades precedentes, su término más temprano o su duración, sin atrasar el término programado del proyecto. Se puede calcular de la siguiente forma:
Como se puede observar, su interpretación es similar a la holgura total, pero suponiendo que el inicio se ha retrasado al máximo posible por las actividades precedentes.
Si observamos la Figura 2, es fácil deducir que la holgura condicionada es la suma de la holgura independiente y la interferente. O lo que es lo mismo, la holgura condicionada es la holgura independiente, menos la diferencia de la holgura total y la libre.
A modo de ejemplo, vamos a analizar las holguras de la actividad E perteneciente al siguiente proyecto:
Como se puede observar, la actividad E podría empezar, como muy pronto, en la etapa 10, y como muy tarde, en la etapa 15. Asimismo, podría terminar, como muy pronto, en la etapa 15, y como muy tarde, en la etapa 20.
YEPES, V.; MARTÍ, J.V.; GONZÁLEZ-VIDOSA, F.; ALCALÁ, J. (2012). Técnicas de planificación y control de obras. Editorial de la Universitat Politècnica de València. Ref. 189. Valencia, 94 pp. Depósito Legal: V-423-2012.
En cables bien tensados y con poca flecha, se puede aproximar la catenaria a una parábola. Es una simplificación muy útil a efectos de cálculo. En este caso se sustituye el peso del cable por una sobrecarga uniforme horizontal equivalente. Además, en un tramo suficientemente pequeño, se puede aproximar la longitud real de la catenaria por la cuerda que une dos puntos. También es interesante comprobar que, con esta aproximación, la componente de la tensión horizontal del cable permanece constante.
