Aplicación de la metodología de la superficie de respuesta en un curso de postgrado de optimización

Este trabajo describe la introducción de la metodología de superficie de respuesta en un curso de postgrado. Este caso se realiza en la asignatura de “Modelos predictivos y de optimización de estructuras de hormigón“. Esta asignatura se enmarca en el Plan de Estudios del Máster Universitario en Ingeniería del Hormigón. Los estudiantes aprenden aquí conceptos como la optimización de estructuras mediante algoritmos heurísticos, la toma de decisiones multicriterio, técnicas de diseño de experimentos y metamodelos como la superficie de respuesta para obtener resultados óptimos. En este caso de estudio, el objetivo es obtener una solución óptima de un muro de hormigón armado, utilizando las emisiones de CO2 como función objetivo para reducir su impacto. Para aplicar esta metodología, los estudiantes aprovechan programas comerciales. Por un lado, para realizar el análisis estadístico que permita obtener la superficie de respuesta se utiliza Minitab. Por otro lado, los estudiantes comprueban la resistencia de la estructura utilizando el software de cálculo estructural Cype. Como resultado de esta metodología se consigue que los estudiantes alcancen un mejor nivel en competencias transversales, como el diseño y el proyecto, el pensamiento crítico, el análisis y la resolución de problemas o el uso de software específico. En este trabajo se presentan futuros estudios de investigación relacionados con el uso de técnicas de optimización de estructuras por parte de los estudiantes aplicando otras técnicas de optimización diferentes.

Referencia:

YEPES, V.; MARTÍNEZ-MUÑOZ, D.; MARTÍ, J.V. (2021). Application of the response surface methodology in a postgraduate optimization course. 15th annual International Technology, Education and Development Conference (INTED 2021), 8th-9th March, 2021, pp. 869-878, Valencia, Spain. ISBN: 978-84-09-27666-0

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Diseño de experimentos en cuadrado grecolatino. Ejemplo aplicado al hormigón

Figura 1. Cuadrado grecolatino de orden cuatro. Wikipedia

Un cuadrado greco-latinocuadrado de Euler o cuadrados latinos ortogonales de orden n se denomina, en matemáticas, a la disposición en una cuadrícula cuadrada n×n de los elementos de dos conjuntos S y T, ambos con n elementos, cada celda conteniendo un par ordenado (st), siendo s elemento de S y t de T, de forma que cada elemento de S y cada elemento de T aparezca exactamente una vez en cada fila y en cada columna y que no haya dos celdas conteniendo el mismo par ordenado. Si bien los cuadrados grecolatinos eran una curiosidad matemática, a mediados del siglo XX Fisher demostró su utilidad para el control de experimentos estadísticos.

El diseño de experimentos en cuadrado grecolatino constituye una extensión del cuadrado latino. En este caso se eliminan tres fuentes extrañas de variabilidad, es decir, se controlan tres factores de bloques y un factor de tratamiento. Se trata de un diseño basado en una matriz de “n” letras latinas y “n” letras griegas, de forma que cada letra latina aparece solo una vez al lado de cada letra griega. Lo interesante de este diseño es que se permite la investigación de cuatro factores (filas, columnas, letras latinas y letras griegas), cada una con “n” niveles en solo “n2” corridas. Se llama cuadrado grecolatino porque los cuatro factores involucrados se prueban en la misma cantidad de niveles, de aquí que se pueda escribir como un cuadro. En la Figura 1 se presenta el aspecto de los datos del diseño de orden cuatro. El inconveniente de este modelo es que su utilización es muy restrictiva. El análisis de la varianza permite comprobar las hipótesis de igualdad de letras latinas (tratamientos), de las filas, de las columnas y de las letras griegas.

Si a un cuadrado latino p x p se le superpone un segundo cuadrado latino n x n en el que los tratamientos se denotan con letras griegas, entonces los dos cuadrados tienen la propiedad de que cada letra griega aparece una y sólo una vez con cada letra latina. Este diseño permite controlar sistemáticamente tres fuentes de variabilidad extraña. Ello permite la investigación de cuatro factores (filas, columnas, letras latinas y letras griegas), cada una con p niveles en sólo n2 ensayos.

Por tanto, el diseño de experimentos en cuadrado grecolatino se caracteriza por lo siguiente:

  • Es un diseño con cuatro factores a n niveles
  • Se asume que no hay interacciones entre los factores
  • Requiere de n2 observaciones
  • Cada nivel de un factor aparece una vez con cada nivel de los otros factores
  • Se trata de la superposición de dos cuadrados latinos (ver Figura 2)
Figura 2. Superposición de dos cuadrados latinos

En un diseño en cuadrado greco-latino la variable respuesta yij(hp) viene descrita por la siguiente ecuación:

A continuación os presento un caso para aclarar la aplicabilidad de este diseño de experimentos. Se trata de averiguar si la resistencia característica del hormigón a flexocompresión (MPa) varía con cuatro dosificaciones diferentes. Para ello se han preparado amasadas en cuatro amasadoras diferentes, se han utilizado cuatro operarios de amasadora y los ensayos se han realizado en cuatro laboratorios diferentes. Los resultados se encuentran en la tabla que sigue. Se quiere analizar el diseño de experimentos en cuadrado grecolatino realizado.

En el caso que nos ocupa, la variable de respuesta de la resistencia característica del hormigón a flexocompresión (MPa). El factor que se quiere estudiar es la dosificación a cuatro niveles (A, B, C y D). El bloque I es el tipo de amasadora, con cuatro niveles (α, β, γ y δ). El bloque II es el operario de la amasadora, con cuatro niveles (1, 2, 3 y 4). El bloque III es el laboratorio, con cuatro niveles (las filas). Se supone que no hay interacción entre el factor y los bloques entre sí.

Lo que se quiere averiguar es si hay diferencias significativas entre las dosificaciones (el factor a estudiar). De paso, se desea saber si hay diferencias entre los laboratorios, los operarios y las amasadoras (los bloques).

Os paso un pequeño vídeo donde se explica, de forma muy resumida, este caso, tanto para SPSS como para MINITAB.

Os dejo otro vídeo donde también se explica este tipo de diseño de experimentos.

Referencias:

  • Gutiérrez, H.; de la Vara, R. (2004). Análisis y Diseño de Experimentos. McGraw Hill, México.
  • Vicente, MªL.; Girón, P.; Nieto, C.; Pérez, T. (2005). Diseño de Experimentos. Soluciones con SAS y SPSS. Pearson, Prentice Hall, Madrid.
  • Pérez, C. (2013). Diseño de Experimentos. Técnicas y Herramientas. Garceta Grupo Editorial, Madrid.

 

Diseño de experimentos factorial completo aplicado al proyecto de muros de contención

En el congreso CMMoST 2019 (5th International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering), celebrado en Alicante del 23 al 25 de octubre de 2019, tuvimos la ocasión de presentar varias comunicaciones. A continuación os paso una denominada “Diseño de experimentos factorial completo aplicado al proyecto de muros de contención“.

En este caso, se trataba aplicar una técnica estadística procedente del diseño de experimentos, el diseño factorial completo, para determinar las variables significativas y las interacciones entre las variables cuando se trata de calcular una estructura. En este caso, se trata de analizar las emisiones de CO2 en la construcción de un muro de contención de tierras. Esta metodología es muy interesante para los estudiantes de máster. Ya hemos publicado algún artículo sobre el mismo tema aplicado a puentes pretensados. Os dejo el artículo en abierto.

Referencia:

MARTÍNEZ-MUÑOZ, D.; YEPES, V.; MARTÍ, J.V. (2019). Diseño de experimentos factorial completo aplicado al proyecto de muros de contención. 5th International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering, CMMoST 2019, 23-25 oct 2019, Alicante, Spain, pp. 201-213. ISBN: 978–84–17924–58–4

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Optimización de muros de hormigón mediante la metodología de la superficie de respuesta

En el congreso CMMoST 2019 (5th International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering), celebrado en Alicante del 23 al 25 de octubre de 2019, tuvimos la ocasión de presentar varias comunicaciones. A continuación os paso una denominada “Optimización de muros de hormigón mediante la metodología de la superficie de respuesta“.

En este caso, se trataba aplicar una técnica estadística procedente del diseño de experimentos, la metodología de la superficie de respuesta, a un cálculo estructural, en este caso, un muro. La optimización de procesos mediante la superficie de respuesta es habitual en el campo de la experimentación. La idea es considerar que el cálculo de una estructura se puede considerar también un experimento, donde los datos de entrada son las variables y parámetros que definen dicha estructura y el resultado final es el coste. En este caso, se trata de minimizar el coste. Esta metodología es muy interesante para los estudiantes de máster. Ya hemos publicado algún artículo sobre el mismo tema aplicado a puentes pretensados. Os dejo el artículo en abierto. En este caso se han optimizado las emisiones de CO2.

Referencia:

YEPES, V.; MARTÍNEZ-MUÑOZ, D.; MARTÍ, J.V. (2019). Optimización de muros de hormigón mediante la metodología de la superficie de respuesta. 5th International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering, CMMoST 2019, 23-25 oct 2019, Alicante, Spain, pp. 603-615. ISBN: 978–84–17924–58–4

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Comunicaciones presentadas al CMMoST 2019. 5th International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering

Durante los días 23 a 25 de octubre de 2019 se celebra en la Universidad de Alicante el congreso internacional CMMoST 2019 (5th International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering). En la sesión de mañana, a las 12:00 horas, nuestro grupo de investigación presenta en la Sala de Grados, bajo la presidencia de Salvador Ivorra, cuatro comunicaciones.

El trabajo se enmarca dentro del proyecto de investigación DIMALIFE que dirijo como investigador principal en la Universitat Politècnica de València. Os dejo aquí las referencias y los resúmenes por si os resulta de interés.

MARTÍNEZ-MUÑOZ, D.; YEPES, V.; MARTÍ, J.V. (2019). Diseño de experimentos factorial completo aplicado al proyecto de muros de contención. 5th International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering, CMMoST 2019, 23-25 oct 2019, Alicante, Spain.

ABSTRACT: This paper applies a complete factorial design to a five-meter wall to evaluate which variables most influence the response. This method is used for two target functions, CO2 emissions and the cost of the structure. To do this, 32 evaluations of the structure are performed using a computer program and a statistical analysis is carried out. The results of this analysis show that the most statistically representative factor is the thickness of the wall and the length of the toe is of little importance for both target functions. The result of the models considering only the variables without the interaction results in an R2 greater than 95%, so the interaction between variables, although it is proven to exist, is not relevant to the case study. This methodology allows to reduce the complexity of structural problems, reducing the number of variables.

PENADÉS-PLÀ, V.; YEPES, V.; GARCÍA-SEGURA, T. (2019). Metodología para valorar la sostenibilidad con baja influencia de los decisores. 5th International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering, CMMoST 2019, 23-25 oct 2019, Alicante, Spain.

ABSTRACT: The goal of achieving sustainable structures involves a set of criteria that are usually opposed. This leads to the need to create a decision-making process. In every decision-making process there are subjective assessments that depend on the decision-maker. This is why decision-makers become an important part of the process because of their subjective assessment. This paper proposes a methodology in which the subjective assessment of the decision-maker in the assessment of sustainability in structures is reduced. Different processes are applied to reduce uncertainty in decision-making processes. In the first place the analysis of main components is applied, in the second place the optimization based on kriging, and finally the AHP method. All this is applied to a continuous concrete deck of beams for pedestrian walkways to achieve sustainable designs, reducing the complexity in making decisions on the most sustainable solution.

YEPES, V.; PENADÉS-PLÀ, V.; GARCÍA-SEGURA, T. (2019). Aplicación de optimización Kriging para la búsqueda de estructuras óptimas robustas. 5th International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering, CMMoST 2019, 23-25 oct 2019, Alicante, Spain.

ABSTRACT: All the structural problems have an associated variability or uncertainty. In the design of structures there are parameters such as the dimensions of the structure, the mechanical characteristics of the materials or the loads that can have variations with respect to the design value. The goal of the robust design optimization is to obtain the design that is optimum and is less sensitive to variations of these uncertain initial parameters. The main limitation of the robust design optimization is the high computational cost required due to the high number of optimizations that must be made to assess the sensitivity of the objective response of the problem. For this reason, kriging model is applied to carry out the optimization process more efficiently. In this work, it is going to apply the robust design optimization on a continuous pedestrian bridge of prestressed concrete and box section.

YEPES, V.; MARTÍNEZ-MUÑOZ, D.; MARTÍ, J.V. (2019). Optimización de muros de hormigón mediante la metodología de la superficie de respuesta. 5th International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering, CMMoST 2019, 23-25 oct 2019, Alicante, Spain.

ABSTRACT: This study presents an application of the response surface methodology to optimize a 5 m high concrete wall. The objective of this research work is to obtain a design solution of a concrete wall, using the CO2 emissions as an objective function to reduce its impact. To reach this objective, a factorial experimental design has been carried out to reduce the number of variables. After this, a steepest descent method has been used to look for the optimum neighborhood. Once the region around the optimum has been found, a second order response surface has been adjusted to reach the minimum. The objective function has been modified to allow a penalty for solutions that do not meet the Ultimate Limit States or stability restrictions. With this methodology, a good solution has been obtained, while also allowing the identification of the geometric design variables that mainly affect CO2 emissions.

 

La cerveza, la estadística y Gosset

William Sealy Gosset, 1876-1937.

Hoy día se conoce ampliamente la distribución t de Student, que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Esta distribución permite realizar la denominada prueba t de Student a dos muestras para probar si existe o no diferencia entre las medias, pudiendo ser dichas muestras desaparejadas o en parejas. Sin embargo, poca gente conoce a este Student. Este fue el seudónimo que utilizó William S. Gosset (1876-1937) para publicar sus descubrimientos. En efecto, para evitar exposiciones de información confidencial, Guinness -que era la empresa donde Gosset trabajaba- prohibió a sus empleados la publicación de artículos independientemente de la información que contuviesen. De ahí el uso de su pseudónimo Student en sus publicaciones, para evitar que su empleador lo detectara.

Distribución t de Student

Gosset empezó a trabajar en 1899 como técnico en la fábrica de cerveza Guinness, justo después de licenciarse en la Universidad de Oxford. Allí empezó a realizar experimentos y comprendió la necesidad de utilizar la estadística para comprender sus resultados. En los inicios del siglo XX, los métodos de inferencia se reducían a un versión de las pruebas z para las medias, pues incluso entonces los intervalos de confianza eran desconocidos. El interés de Gosset en el cultivo de la cebada le llevó a pensar que el diseño de experimentos debería dirigirse no sólo a mejorar la producción media, sino también a desarrollar variedades poco sensibles a las variaciones en el suelo y el clima. Como los experimentos que realizaba eran con pocas observaciones, se dio cuenta que las conclusiones que obtenía con este tipo de inferencia no eran precisas. Con la nueva distribución t se pudo diseñar una prueba que identificó la mejor variedad de cebada y Guinness, rápidamente, adquirió toda la semilla disponible. Para que luego se ponga en duda la importancia de la investigación en las empresas y su rentabilidad económica.

Os dejo a continuación un vídeo explicativo de esta importante función de distribución.

 

¿Qué es la metodología de la superficie de respuesta?

La Metodología de la Superficie de Respuesta (RSM) es un conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas utilizadas para modelar y analizar problemas en los que una variable de interés es influenciada por otras.  El propósito inicial de estas técnicas es diseñar un experimento que proporcione valores razonables de la variable respuesta y, a continuación, determinar el modelo matemático que mejor se ajusta a los datos obtenidos. El objetivo final es establecer los valores de los factores que optimizan el valor de la variable respuesta. Esto se logra al determinar las condiciones óptimas de operación del sistema.

La diferencia entre (RSM) y un diseño experimental corriente estriba en que un diseño experimental por si solo tiene como objetivo localizar el tratamiento “ganador” entre todos aquellos que se han probado. En cambio, RSM pretende localizar las condiciones óptimas de operación del proceso. Ello supone un reto para el investigador, requiere una estrategia más completa e incluye la posibilidad de efectuar varios experimentos secuenciales y el uso de técnicas matemáticas más avanzadas.

Os dejo a continuación un vídeo explicativo que espero os aclare la metodología.

Otro vídeo complementario al anterior es el siguiente:

Referencias:

  • Box, G. E. P., Wilson, K. G. (1951), On the experimental attainment of optimum conditions,Journal of the Royal Statistical Society, B 13, 1-45
  • Cornell, John A. (1984), How to apply Response Surface Methodology, American Society for Quality Control, Milwaukee, WI.
  • Kuehl, Robert O. (2001) Diseño de Experimentos, 2a. Edición, Thomson Learning.
  • Melvin T. A. Response Surface Optimization using JMP Software, < http://www2.sas.com/proceedings/sugi22/STATS/PAPER265.PDF>
  • Montgomery, D. C. (2002), Diseño y Análisis de Experimentos, Editorial Limusa, Segunda Edición.
  • http://www.cicalidad.com/articulos/RSM.pdf
  • http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lii/peregrina_p_pm/capitulo2.pdf

Diseño de experimentos en cuadrado latino

En el diseño en cuadrado latino se tienen cuatro fuentes de variabilidad que pueden afectar a la respuesta observada: los tratamientos, el factor de bloque I (columnas), el factor de bloque II (filas) y el error aleatorio. Se llama cuadrado latino porque se trata de un cuadrado que tiene la restricción adicional de que los tres factores involucrados se prueban en la misma cantidad de niveles, y es latino porque se utilizan letras latinas para denotar a los tratamientos o niveles de factor de interés.

Veamos un ejemplo práctico: se trata de averiguar si la resistencia característica del hormigón a compresión (MPa) varía con cuatro dosificaciones diferentes (D1, D2, D3, D4). Para ello se han preparado amasadas en 4 amasadoras diferentes y los ensayos se han realizado en 4 laboratorios diferentes. Los resultados obtenidos se han representado en la tabla que sigue.

TIPO DE AMASADORA
1 2 3 4
Laboratorio 1 26,7 (D3) 19,7 (D1) 28,0 (D2) 29,4 (D4)
Laboratorio 2 23,1 (D1) 20,7 (D2) 24,9 (D4) 29,0 (D3)
Laboratorio 3 28,3 (D2) 20,1 (D4) 29,0 (D3) 27,3 (D1)
Laboratorio 4 25,1 (D4) 17,4 (D3) 28,7 (D1) 34,1 (D2)

 

En este caso, la variable de respuesta es la resistencia característica del hormigón a compresión (MPa), el factor es la dosificación, y los bloques son las amasadoras y los laboratorios. Se supone que no existe interacción entre el factor y los bloques entre sí. El ANOVA trata de comprobar los efectos de los tratamientos (las dosificaciones).

Os dejo a continuación un vídeo tutorial para resolver este diseño con el programa estadístico SPSS.

Referencias:

  • Gutiérrez, H.; de la Vara, R. (2004). Análisis y Diseño de Experimentos. McGraw Hill, México.
  • Vicente, MªL.; Girón, P.; Nieto, C.; Pérez, T. (2005). Diseño de Experimentos. Soluciones con SAS y SPSS. Pearson, Prentice Hall, Madrid.
  • Pérez, C. (2013). Diseño de Experimentos. Técnicas y Herramientas. Garceta Grupo Editorial, Madrid.

 

Diseño de experimentos por bloques completos al azar

El diseño en bloques completos al azar trata de comparar tres fuentes de variabilidad: el factor de tratamientos, el factor de bloques y el error aleatorio. El adjetivo completo se refiere a que en cada bloque se prueban todos los tratamientos. La aleatorización se hace dentro de cada bloque.

Para ilustrar el diseño, supongamos que queremos determinar si cuatro laboratorios miden la misma resistencia característica del hormigón a compresión. Para ello se han considerado 5 amasadas diferentes que han sido analizadas por cada uno de los laboratorios. A los 28 días, se han roto las probetas a compresión simple y los resultados son los que hemos recogido en la tabla que sigue.

 

AMASADA
1 2 3 4 5
Laboratorio 1 63,5 63,2 62,3 65,6 65,0
Laboratorio 2 64,1 64,2 63,0 64,2 64,9
Laboratorio 3 65,9 65,0 63,9 66,0 65,8
Laboratorio 4 64,9 65,2 64,1 65,9 67,9

 

En este caso, la variable de respuesta es la resistencia característica del hormigón a compresión (MPa), el factor es el laboratorio (4 niveles), el bloque es la amasada (no son objeto directo de motivo del estudio). Por otra parte, se considera que no existe interacción entre el laboratorio y la amasada (factor y bloque).

En este tipo de experimento, la medición será el resultado del efecto del tratamiento (laboratorio) donde se encuentre, del efecto del bloque al que pertenece (amasada) y de cierto error que se espera que sea aleatorio. La hipótesis de que las medias son iguales se va a analizar con el análisis de la varianza (ANOVA), con dos criterios de clasificación.

A parte de los supuesto de normalidad, igualdad de varianzas y de independencia, aquí se añade otro que es que no existe interacción entre el factor y el bloque.

Para los curiosos, después de haber analizado los datos, diremos que en este caso, con una seguridad del 95%, se aprecian diferencias significativas entre las resistencias medidas por los laboratorios 1 y 3, entre los laboratorios 1 y 4,  y entre los laboratorios 2 y 4.

A continuación os dejo un vídeo donde os enseño cómo podemos analizar este problema con el programa estadístico SPSS. Espero que os sea útil.

 

Diseño completamente al azar y ANOVA

https://cientecinstrumentos.cl/

El diseño completamente al azar es el más sencillo de los diseños de experimentos que tratan de comparar dos o más tratamientos, puesto que sólo considera dos fuentes de variabilidad: los tratamientos y el error aleatorio.

Para ilustrar el diseño, supongamos que queremos determinar si cuatro dosificaciones de un hormigón A,B,C y D presentan una misma resistencia característica a compresión. Para ello se han elaborado 5 probetas para cada tipo de dosificación y, a los 28 días, se han roto las probetas a compresión simple y los resultados son los que hemos recogido en la tabla que sigue.

DOSIFICACIONES DE HORMIGÓN
A B C D
Resistencia característica a compresión fck (Mpa) 42 45 64 56
39 46 61 55
48 45 50 62
43 39 55 59
44 43 58 60

Para este caso, la variable de respuesta es la resistencia característica del hormigón a compresión (MPa), la unidad experimental es la probeta de hormigón y el factor es la dosificación de hormigón. En este caso se trata de un diseño balanceado porque hemos realizado el mismo número de repeticiones (5) para cada uno de los tratamientos (dosificaciones).

Este tipo de diseño se llama completamente al azar porque todas las repeticiones experimentales se realizan en orden aleatorio completo, pues no se han tenido en cuenta otros factores de interés. Si durante el estudio se hacen N pruebas, éstas se deben realizar al azar, de forma que los posibles efectos ambientales y temporales se vayan repartiendo equitativamente entre los tratamientos.

El número de repeticiones a realizar en cada tratamiento depende de la variabilidad que se espera observar en los datos, a la diferencia mínima que el experimentador considera que es importante detectar y al nivel de confianza que se desea tener en las conclusiones. Normalmente se recomiendan entre 10 y 30 mediciones en cada tratamiento. Con 10 mediciones se podrían detectar diferencias de medias mayores o iguales a  1,5 sigmas con una probabilidad alta, y con 30 mediciones se podrían detectar diferencias mayores o iguales a 0,7 sigmas.

Se utiliza el análisis de la varianza (ANOVA) para comprobar si existen diferencias en las medias. Fundamentalmente este análisis consiste en separar la contribución de cada fuente de variación en la variación total observada. Sin embargo, éste ANOVA está supeditado a los siguientes supuestos que deben verificarse:

  • Normalidad
  • Varianza constante (igual varianza en los tratamientos)
  • Indepedencia

Para los que queráis saber qué ha pasado con nuestro experimento con las amasadas, os diré que que el ANOVA dió como resultado el rechazo de la igualdad de medias, es decir, que la resistencia media se ve afectada por la dosificación. Sin embargo, las cuatro dosificaciones no son igual de efectivas, pues existen diferencias significativas entre las resistencias medias de cada una de ellas. De hecho, las dosificaciones A y B no presentan diferencias significativas entre sí, tampoco entre la C y la D, sin embargo, entre ambos grupos sí que hay diferencias significativas. Asimismo, se ha podido comprobar que se cumplieron los supuestos de normalidad, varianza constante e independencia.

Os dejo en el siguiente vídeo cómo se puede utilizar el software SPSS para realizar un diseño de experimentos completamente al azar.

Referencias:

  • Box, G.E.; Hunter, J.S.; Hunter, W.G. (2008). Estadística para investigadores. Diseño, innovación y descubrimiento. Segunda Edición, Ed. Reverté, Barcelona.
  • Gutiérrez, H.; de la Vara, R. (2003). Análisis y diseño de experimentos. McGraw-Hill, México.
  • Vicente, M.L.; Girón, P.; Nieto, C.; Pérez, T. (2005). Diseño de experimentos. Soluciones con SAS y SPSS. Pearson Educación, Madrid.

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