La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuacioneslineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
Os dejo un vídeo tutorial donde se explica la programación lineal y se avanzan las ideas básicas del método Simplex.
Existen páginas web, como PHPSimplex, donde puedes solucionar on-line problemas sencillos. También puede resolverse este tipo de problemas con las herramientas de MATLAB: Optimization Toolbox.
A continuación os dejo un vídeo donde se explica cómo resolver un problema de Programación Lineal mediante MS Excel 2007. Es importante que aprendáis a utilizar el Solver. Espero que os guste el vídeo.
¿Seríais capaces de resolver los siguientes problemas, donde el objetivo es maximizar el beneficio?:
Una empresa produce hormigón usando los ingredientes A y B. Cada kilo de ingrediente A cuesta 60 unidades monetarias y contiene 4 unidades de arena fina, 3 unidades de arena gruesa y 5 unidades de grava. Cada kilo de ingrediente B cuesta 100 unidades monetarias y contiene 3 unidades de arena fina, 6 unidades de arena gruesa y 2 unidades de grava. Cada amasada debe contener, por lo menos, 12 unidades de arena fina, 12 unidades de arena gruesa y 10 unidades de grava. Formule un modelo de programación lineal y resuélvalo gráficamente.
Una empresa especializada en la construcción de estructuras de edificios tiene patentes de tres tipos de forjados F1, F2 y F3. Los beneficios que consigue por metro cuadrado de forjado construido son 100, 90 y 120 unidades monetarias respectivamente. Por razones de almacenamiento y financiación, diariamente sólo se dispone de dos toneladas de acero, 200 m3 de hormigón y 8 m3 de madera para encofrados. Maximizar el beneficio a obtener. Las cantidades de acero, hormigón y madera que se necesitan por m2 en cada uno de los forjados son:
Ayer 12 de enero de 2016 tuvo lugar la defensa de la tesis doctoral de D. Alejandro José Luz Ivars denominada “Diseño óptimo de estribos abiertos de hormigón armado en puentes de carretera mediante optimización heurística”, dirigida por Fernando González Vidosa y Víctor Yepes Piqueras. La tesis recibió la calificación de “Sobresaliente cum laude” por unanimidad. Presentamos a continuación un pequeño resumen de la misma.
Resumen
La infraestructura de mayor implantación en el territorio es la carretera. Los tramos en puente y en túnel son los más singulares y costosos, aunque los primeros son más numerosos que los segundos. Hoy en día los puentes de paso superior son uno de los más frecuentes en todas las carreteras importantes. El estribo más recomendable y habitual para este tipo de puentes es el abierto porque, se esconde bajo el terraplén, mejorando la visibilidad de los conductores de la vía inferior, y, ahorra materiales respecto al cerrado a partir de una altura de terraplén suficiente. Muchos esfuerzos se han dedicado al cálculo y diseño de los tableros de puente, menos a las pilas, y, aún menos, a los estribos. Esta tesis se ocupa del diseño óptimo de estribos abiertos de hormigón armado en puentes de carretera. Se suma a las investigaciones del Grupo de Investigación, al que pertenece de Procedimientos de la Construcción, Optimización y Análisis de Estructuras (GPRC); que ya ha optimizado tableros (de losa pretensados y de vigas artesa) y pilas (rectangulares huecas), así como, muros, bóvedas y pórticos.
Solución de referencia
Los métodos de optimización más antiguos son los exactos, pero se complican mucho y pierden eficiencia cuando el número de variables es muy alto y las condiciones que deben cumplir las soluciones (comprobaciones resistentes de los materiales) no son lineales. Por el contrario, con ayuda de los ordenadores actuales, los métodos heurísticos están en gran auge, permitiendo, con algoritmos sencillos y “mucho coste” computacional, pero en tiempo razonable, resolver de manera automática, problemas tan complejos como los reales, sin simplificaciones, y no solo optimizando el coste como hasta ahora, sino también, otros criterios o, varios a la vez, con gran facilidad. Los estribos óptimos de la tesis se obtienen mediante estos métodos heurísticos y un programa informático que se ha realizado. Están completamente diseñados para ser construidos, y para ello constan de 40 variables discretas. Los estribos no han sido antes tratados en la bibliografía de optimización. Las funciones objetivo son el coste, la seguridad estructural, la constructibilidad y la sostenibilidad ambiental, tanto de forma aislada como por parejas con el coste (con una optimización multiobjetivo híbrida MOSAMO).
Los estribos así obtenidos son diseños óptimos que no han precisado la experiencia previa de un proyectista de estructuras que proponga, como se ha venido haciendo hasta la actualidad, el diseño inicial a comprobar. Si no cumple alguna comprobación resistente (a efectuar, bien manualmente, bien, como actualmente, mediante uno o varios programas informáticos de estructuras), el diseño inicial se retoca ligeramente por el ingeniero mediante un procedimiento de prueba y error. Los programas actuales aún no incluyen rutinas de optimización como el de la tesis. Por ello la bondad del diseño final depende mucho del proyectista que los maneja y de la bibliografía que conoce. La bibliografía sobre el diseño de estribos es escasa y no completa. Este trabajo la amplía aportando las relaciones geométricas, los órdenes de magnitud y los mecanismos resistentes de los estribos óptimos (criterios de predimensionamiento) y los compara con los de la bibliografía y con los de un estribo de referencia ER. Estribo con una altura de 9 m, realmente construido y proyectado por reconocidos ingenieros, respecto al que se han comprobado ahorros económicos superiores al 18% (fundamentalmente en la zapata). Para este ER se ha realizado un estudio paramétrico obteniendo los estribos óptimos con alturas totales entre 6 y 15 m y para tensiones admisibles entre 0,2 y 0,5 MPa.
Se han empleado con éxito algoritmos heurísticos a los estribos de los dos grandes grupos existentes: por un lado, de Búsqueda Secuencial por Entornos o Hill Climbing; y, por otro, de los llamados Algoritmos Poblacionales o Evolutivos; en ambos casos, tanto con soluciones factibles como infactibles. En esta tesis, mediante una nueva propuesta de penalización de la función objetivo, se consiguen, ahorros del 60% en tiempo de cálculo. Los algoritmos empleados se basan en el recocido simulado (SAMO) y en la aceptación por umbrales (TAMO). Son dos algoritmos híbridos de escalada estocástica con operadores de mutación basados en los algoritmos genéticos. Las diferencias entre ellos no son significativas, menores del 0.2%. Con un ordenador Intel Core 2 Quad CPU Q6600 de 2.4 GHz y con 3.24 GB de memoria RAM se consigue la optimización (con penalizaciones altas) en tan solo una ejecución del algoritmo, como novedad frente a otras investigaciones, de 1 h 35’(38’ con ordenador actual). Dentro del segundo grupo se desarrollan dos nuevas heurísticas HSDLS y HSPDLS basadas en Harmony Search e hibridadas con DLS sin y con penalizaciones (y el mismo operador de mutación primer grupo) con las que se consiguen resultados similares pero con tiempos 9 y 6 veces superiores respectivamente.
Tanto la optimización monobjetivo como la multiobjetivo (MO) ponen de manifiesto la equivalencia de optimizar en coste, en CO₂ o en energía con diferencias menores del 1.5%, si bien es, a costa de un elevado número de armaduras pasivas. La optimización MO (coste barras) ofrece un ahorro medio en barras del 78.4% con un incremento medio de los otros tres criterios de 7.85% siendo el ahorro económico respecto ER todavía de un 12,23%.
Hoy 9 de diciembre de 2015 ha tenido lugar la lectura de la tesis doctoral de D. Ángel Rodríguez-Calderita Facundi denominada “Optimización heurística de forjados de losa postesa”, dirigida por Víctor Yepes Piqueras y Julián Alcalá Gonzalez. La tesis recibió la calificación de “Sobresaliente cum laude” por unanimidad. Presentamos a continuación un pequeño resumen de la misma.
Resumen
El objetivo fundamental de esta tesis consiste en el desarrollo de un nuevo algoritmo de optimización que permita una mayor eficiencia que otros algoritmos empleados en la optimización de estructuras, así como la obtención de reglas de diseño a partir de los resultados de la optimización de forjados de losa postesa.
Los forjados son los elementos estructurales que se repiten constantemente en el diseño de los edificios y que, por tanto, requieren de un grado de atención importante. Por esto su optimización presenta un indudable interés. Los forjados de losa postesa, en particular, suponen una mejora tecnológica respecto a los forjados convencionales, y resultan ventajosos dentro de determinados campos de aplicación.
Del análisis de los trabajos de investigación previamente publicados, se ha podido concluir que la optimización de estructuras de hormigón en general, y de forjados losa en particular, se aborda de forma eficaz mediante el uso de metaheurísticas. El uso de estas técnicas ha demostrado ser ventajoso al hacer posible considerar todos los elementos que conforman el forjado, dando al resultado de la optimización un enfoque muy práctico pues el resultado del proceso es un forjado completamente definido.
A partir de aquí se han implementado tres algoritmos mono-objetivo basados en otras tantas metaheurísticas: el recocido simulado (SA), la aceptación por umbrales (TA) y el algoritmo del solterón, este último con dos variantes (OBA, OBA1). Estos algoritmos han sido debidamente calibrados para mejorar su funcionamiento. La comparación entre ellos muestra que funcionan de un modo muy similar. El que ha proporcionado los mejores resultados ha sido el TA, con losas entre un 0.5% y un 1% más económicas que el resto de algoritmos. El algoritmo que mejores resultados ha obtenido a continuación es casi siempre el OBA 1, pues mejora al OBA, e incluso al TA para parametrizaciones de corta duración de cálculo.
En cualquier caso, el algoritmo TA ha mejorado el coste de una solución de referencia en un 31.63%. Este ahorro tan significativo se justifica por la reducción de canto, lo que reduce la medición de hormigón, y por tanto de peso, por lo que permite reducir también cuantías de acero. Asimismo se ha implementado un algoritmo multiobjetivo (SMOSA), enfrentando dos funciones objetivo que entran en conflicto: el coste económico y la seguridad estructural, evaluada mediante un factor definido como el menor de los factores de seguridad de todos los estados límite examinados. Los resultados indican que un incremento del factor de seguridad envolvente de un 5% sobre el mínimo impuesto por las normas requiere un sobrecoste del 2%, pero esta proporción no se mantiene lineal. Para aumentar la seguridad al doble del valor normativo, el coste se incrementa en un 89.54%.
Con todos estos resultados, y analizando los resultados del algoritmo TA, se ha diseñado un nuevo algoritmo de optimización que se ha denominado Destrucción puntual más reconstrucción guiada (DP+RG). Se trata de un algoritmo inspirado en los algoritmos de destrucción-reconstrucción, con elementos de los algoritmos de búsqueda en entornos amplios. Se basa en emplear movimientos más sofisticados que dirigen la búsqueda no solo en función de la variación en la función objetivo, sino también en la alteración en el cumplimiento de los requisitos estructurales. Aunque se ha aplicado únicamente a este tipo de forjados es totalmente generalizable a la optimización de cualquier estructura de hormigón.
A pesar del requerimiento de memoria del equipo informático, este algoritmo ha resultado ser entre seis y doce veces más rápido que los algoritmos anteriores. También es más robusto, en el sentido de que las ejecuciones consecutivas del algoritmo proporcionan soluciones con una desviación máxima entre ellas del 0.29% en el peor de los casos, frente a valores de hasta el 12.5 % en el TA. Finalmente, los resultados obtenidos llegan a mejorar al TA entre un 1.1 y un 2.3% de media.
El forjado optimo desde el punto de vista económico será aquel que tenga un menor canto para la misma resistencia característica de hormigón, el canto ha resultado la variable más determinante de las analizadas lo que justifica que su ajuste se realice centímetro a centímetro y no en escalones de cinco centímetros que suele ser lo habitual.
La semana pasada tuve oportunidad de intervenir en una jornada organizada por el Instituto de la Ingeniería de España donde tuve la ocasión de explicar a grandes rasgos algunos impactos que podría tener el cambio climático en el turismo. Hasta aquí todo normal. Íñigo Losada, director de investigación del Instituto de Hidráulica Ambiental de la Universidad de Cantabria, así como experto del IPCC (Intergovermental Panel on Climate Change) expuso los datos científicos actuales sobre la incidencia del cambio climático en la subida del nivel medio del mar en el litoral español y Ángel Muñoz explicó las acciones que la administración española está tomando al respecto desde el Ministerio de Agricultura y Medio Ambiente.
Independientemente de las causas que originan este fenómeno, sorprende cómo existen colectivos que niegan de forma contundente y sistemática la veracidad de los datos aportados por los científicos. Otros, sin leer los informes científicos al respecto y sin ningún tipo de reflexión, se creen a pie juntillas todo lo que los medios informan, incluido lo del cambio climático. Basta leer los comentarios que en los medios de prensa se dan a cualquier noticia al respecto. Mi impresión es que las redes sociales permiten amplificar cualquier tipo de postura o ideología magnificando el impacto sobre la opinión pública. Parece como si el debate sobre el cambio climático perteneciera al espacio de la opinión y las ideas, donde unos y otros son “creyentes” o “negacionistas” de fenómenos detectados por la Ciencia. Los debates superan cualquier racionalidad y entran en descalificaciones en los dos sentidos que no tienen lógica posible. Incluso este post, donde no estoy entrando en ningún tipo de argumentación a favor o en contra, también será objeto de opinión y debate. Seguro.
El fondo del asunto trasciende el contenido de este post. En numerosas ocasiones la Ciencia sorprende al sentido común y origina fuertes controversias. La Tierra es la que gira alrededor del Sol y la evolución de las especies parece que está más que demostrada. Lo primero parece que se acepta claramente, lo segundo aún hay colectivos que lo niegan. Mi experiencia aplicando la teoría de la evolución a la optimización de estructuras es sorprendentemente positiva, lo cual confirma lo que ya muchos investigadores saben: la validez de los supuestos en los que se basan los algoritmos genéticos. La constatación de que un crecimiento exponencial de la población es insostenible ya fue explicada por Malthus. También esta teoría ha sido duramente criticada, como también denostada por algunos el concepto de sostenibilidad. La Física actual, especialmente la cuántica, nos sorprende constantemente y rebate cualquier tipo de interpretación sensorial de la realidad. La dualidad onda corpúsculo genera una paradoja conceptual que tiene explicaciones en forma de la interpretación de Copenhague, la formulación de integrales de caminos o la teoría universos múltiples. Si una función de onda cuántica colapsa por el hecho de ser medida, ello implica que la existencia material de un objeto sólo es posible si alguien la observa. Paradojas científicas difíciles de entender.
Eppur si muove o E pur si muove (y sin embargo, se mueve, en español) es la hipotética frase en italiano que, según la tradición, Galileo Galilei habría pronunciado después de abjurar de la visión heliocéntrica del mundo ante el tribunal de la Santa Inquisición.
Por mi parte, os dejo tanto la presentación que hice en la jornada como el vídeo completo de las mismas, por si os interesa. También un par de enlaces a medios de prensa donde se recogieron algunas de las conclusiones:
MARTÍ, J.V.; YEPES, V. (2015). A postgraduate course on precast-prestressed concrete road bridges optimization. 3rd International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering CMMoST 2015, 24-26 de june, Seville (Spain), pp. 27-40. ISBN: 978-84-606-9356-7
Este artículo trata sobre la formación universitaria en ingeniería de proyectos en un curso de postgrado dentro del Máster en Ingeniería del Hormigón de la UPV, centrado en el diseño automatizado de estructuras de hormigón, optimizando el coste de ejecución material. El curso considera la mayoría de los algoritmos heurísticos básicos aplicándolos al diseño práctico de estructuras reales, tales como muros, pórticos y marcos de pasos inferiores de carreteras, pórticos de edificación, bóvedas, pilas, estribos y tableros de puentes. Se presentan dos tipos distintos de muros de hormigón armado in situ usados en la construcción de carreteras. Se aplica el algoritmo recocido simulado (SA), en primer lugar a un muro ménsula de 10,00 metros de altura, y en segundo lugar a un muro nervado de la misma altura. El primer modelo consta de 20 variables que definen la geometría estructural, así como las características del hormigón y los armados. El segundo modelo necesita 32 variables para su definición. Los parámetros son los mismos para los dos casos. Finalmente, se concluye que la optimización heurística es una buena herramienta para diseñar muros y comparar las distintas tipologías de proyecto, reduciendo los costes.
MARTÍ, J.V.; YEPES, V. (2015). An engineering postgraduate course on heuristic design of different types of retaining walls. 19 th International Congress on Project Management and Engineering, 15-17 July, Granada (Spain).
Resumen: Este artículo se ocupa del diseño automático de estribos abiertos de hormigón armado en puentes de carretera de coste mínimo, empleando para ello dos algoritmos híbridos de escalada estocástica con operadores de mutación basados en los algoritmos genéticos. Los algoritmos empleados se basan en el recocido simulado (SAMO) y en la aceptación por umbrales (TAMO). Ambos algoritmos se aplican a un estribo definido por 40 variables discretas. Se han comprobado ahorros económicos superiores al 18 % respecto a un estribo de referencia de una altura de 9 m realmente construido, con diferencias pequeñas entre ambos algoritmos, del 0,5 % a favor de SAMO. Además, se ha realizado un estudio paramétrico para alturas de estribo entre 6 y 15 m para diferentes tensiones admisibles del terreno que ofrece criterios de predimensionamiento a los proyectistas. Se ha comprobado, además, que el ahorro económico se localiza fundamentalmente en la zapata de estas estructuras.
Cómo citar este artículo/Citation: Luz, A., Yepes, V., González-Vidosa, F., Martí, J. V. (2015). Diseño de estribos abiertos en puentes de carretera obtenidos mediante optimización híbrida de escalada estocástica. Informes de la Construcción, 67(540): e114, doi: http://dx.doi.org/10.3989/ic.14.089.
Tras haber cerrado el proyecto de investigación anterior HORSOST, centrado en la optimización de la sostenibilidad de hormigones no convencionales, en este post os paso el resumen del último proyecto de investigación BRIDLIFE: “Toma de decisiones en la gestión del ciclo de vida de puentes pretensados de alta eficiencia social y medioambiental bajo presupuestos restrictivos”. Dicho proyecto, del cual soy Investigador Principal, se ha aprobado en la última convocatoria de 2014 del Ministerio de Economía y Competitividad “Proyectos de I+D+I RETOS INVESTIGACIÓN”. BRIDLIFE lleva asociado un contrato predoctoral. Se trata de un proyecto de tres años, con 5 investigadores doctores de la Universitat Politècnica de València y 2 investigadores participantes de la Universidad de Colorado (Boulder), de Estados Unidos. Iré contando detalles de este proyecto de investigación a lo largo de los próximos meses.
RESUMEN:
Las vías de comunicación terrestre, y en especial los puentes, son infraestructuras básicas en el desarrollo económico, en el equilibrio territorial y en el bienestar social, cuya construcción, diseño, conservación y desmantelamiento se ven afectados gravemente cuando los presupuestos son restrictivos. Una parte significativa de estos puentes son de hormigón pretensado. Su deterioro y su incidencia en la seguridad son objeto de gran alarma social. Si además el mantenimiento es ineficiente, la reparación conlleva costes mucho mayores. El objetivo principal del proyecto BRIDLIFE consiste en desarrollar una metodología que permita incorporar procesos analíticos en la toma de decisiones en el ciclo completo de vida de puentes de hormigón pretensado, de forma que se contemplen las necesidades e intereses sociales y ambientales.
El diseño de los puentes se realiza de forma secuencial. Tras un predimensionamiento se comprueban todos los estados límites, en un proceso iterativo cuyo resultado en términos de eficiencia económica dependen fuertemente de la experiencia previa del proyectista. Una alternativa es el diseño totalmente automático utilizando técnicas de optimización, capaces de incorporar múltiples funciones objetivo y cuyo resultado es la generación de un conjunto de soluciones eficientes (frontera de Pareto). No obstante, esta metodología sigue presentando limitaciones que el proyecto BRIDLIFE pretende superar.
El empleo de técnicas de análisis del valor y toma de decisiones como MIVES ha supuesto un gran avance en la definición de un indicador de sostenibilidad reflejado en el Anejo 13 de la actual instrucción EHE. Sin embargo, este enfoque queda limitado a aspectos ambientales que tampoco consideran todo el ciclo completo de la vida de una estructura o el uso de hormigones de baja huella de carbono. Es una técnica jerárquica que no contempla las interacciones entre los distintos factores. El aspecto más relevante de BRIDLIFE consiste en incorporar un análisis del ciclo de vida definiendo un proceso de toma de decisiones que integre los aspectos sociales y medioambientales mediante técnicas analíticas de toma de decisiones multicriterio tanto de forma previa a los procesos de optimización multiobjetivo, como posteriormente en la priorización de las soluciones del frente de Pareto. Un análisis crítico de las tareas necesarias para la consecución de este objetivo indica la necesidad de coordinar un grupo multidisciplinar amplio capaz de aglutinar no sólo distintas perspectivas técnicas, sino también distintos intereses, públicos y privados. La actividad se pretende realizar aplicando tecnologías de consenso en red.
Por otra parte, la fuerte limitación presupuestaria presente en momentos de crisis como la actual, compromete seriamente las políticas de creación y conservación de las infraestructuras. Los resultados esperados, tras un análisis de sensibilidad de distintas políticas presupuestarias asociadas a un horizonte temporal, pretenden detallar qué tipologías, actuaciones concretas de conservación y alternativas de demolición y reutilización son adecuadas para minimizar los impactos ambientales y sociales. Ello requiere complementar los inventarios de las emisiones equivalentes de gases de efecto invernadero y consumos energéticos para hormigones de baja huella de carbono, así como identificar y valorar los factores de riesgo que afectan a la seguridad de las personas a lo largo de todo el ciclo de vida de los puentes.
PALABRAS CLAVE:
Toma de decisiones; puentes pretensados; hormigón; análisis del ciclo de vida; sostenibilidad; optimización multiobjetivo.
MARTÍ, J.V.; YEPES, V. (2015). Aplicación en la docencia posgrado de algoritmos heurísticos en la optimización de estructuras: Muros nervados. XIII Jornadas de Redes de Investigación en Docencia Universitaria, 2 y 3 de julio, Alicante, 15 pp.
La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
