¿Cómo se podrían optimizar en tiempos de cálculo razonable problemas complejos de redes de transporte, estructuras de hormigón (puentes, pórticos de edificación, túneles, etc.) y otro tipo de problemas de decisión empresarial cuando la dimensión del problema es de tal calibre que es imposible hacerlo con métodos matemáticos exactos? La respuesta son los métodos aproximados, también denominados heurísticas. Este artículo divulgativo trata de ampliar otros anteriores donde ya hablamos de los algoritmos, de la optimización combinatoria, de los modelos matemáticos y otros temas similares. Para más adelante explicaremos otros temas relacionados específicamente con aplicaciones a problemas reales. Aunque para los más curiosos, os paso en abierto, una publicación donde se han optimizado con éxito algunas estructuras de hormigón como muros, pórticos o marcos de carretera: (González et al, 2008).
Desde los primeros años de la década de los 80, la investigación de los problemas de optimización combinatoria se centra en el diseño de estrategias generales que sirvan para guiar a las heurísticas. Se les ha llamado metaheurísticas. Se trata de combinar inteligentemente diversas técnicas para explorar el espacio de soluciones. Osman y Kelly (1996) nos aportan la siguiente definición: “Los procedimientos metaheurísticos son una clase de métodos aproximados que están diseñados para resolver problemas difíciles de optimización combinatoria, en los que los heurísticos clásicos no son ni efectivos ni eficientes. Los metaheurísticos proporcionan un marco general para crear nuevos algoritmos híbridos combinando diferentes conceptos derivados de la inteligencia artificial, la evolución biológica y la mecánica estadística”.
Aunque existen diferencias apreciables entre los distintos métodos desarrollados hasta el momento, todos ellos tratan de conjugar en mayor o menor medida la intensificación en la búsqueda –seleccionando movimientos que mejoren la valoración de la función objetivo-, y la diversificación –aceptando aquellas otras soluciones que, aun siendo peores, permiten la evasión de los óptimos locales-.
Las metaheurísticas son susceptibles de agruparse de varias formas. Algunas clasificaciones recurren a cambios sucesivos de una solución a otra en la búsqueda del óptimo, mientras otras se sirven de los movimientos aplicados a toda una población de soluciones. El empleo, en su caso, de memoria que guíe de la exploración del espacio de elecciones posibles permite otro tipo de agrupamiento. En otras circunstancias se emplean perturbaciones de las opciones, de la topología del espacio de soluciones, o de la función objetivo. En la Figura se recoge una propuesta de clasificación de las heurísticas y metaheurísticas empleadas en la optimización combinatoria (Yepes, 2002), teniendo en común todas ellas la necesidad de contar con soluciones iniciales que permitan cambios para alcanzar otras mejores. Es evidente que existen en este momento muchas más técnicas de optimización, pero puede ser dicha clasificación un punto de partida para una mejor taxonomía de las mismas.
Figura. Taxonomía de estrategias empleadas en la resolución aproximada de problemas de optimización combinatoria sobre la base de soluciones iniciales (Yepes, 2002)
Las metaheurísticas empleadas en la optimización combinatoria en podrían clasificarse en tres grandes conjuntos. Las primeras generalizan la búsqueda secuencial por entornos de modo que, una vez se ha emprendido el proceso, se recorre una trayectoria de una solución a otra vecina hasta que éste concluye. En el segundo grupo se incluyen los procedimientos que actúan sobre poblaciones de soluciones, evolucionando hacia generaciones de mayor calidad. El tercero lo constituyen las redes neuronales artificiales. Esta clasificación sería insuficiente para aquellas metaheurísticas híbridas que emplean, en mayor o menor medida, estrategias de unos grupos y otros. Esta eventualidad genera un enriquecimiento deseable de posibilidades adaptables, en su caso, a los diferentes problemas de optimización combinatoria.
Referencias
GONZÁLEZ-VIDOSA-VIDOSA, F.; YEPES, V.; ALCALÁ, J.; CARRERA, M.; PEREA, C.; PAYÁ-ZAFORTEZA, I. (2008) Optimization of Reinforced Concrete Structures by Simulated Annealing. TAN, C.M. (ed): Simulated Annealing. I-Tech Education and Publishing, Vienna, pp. 307-320. (link)
YEPES, V. (2002). Optimización heurística económica aplicada a las redes de transporte del tipo VRPTW. Tesis Doctoral. Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Universitat Politècnica de València. 352 pp. ISBN: 0-493-91360-2. (pdf)
La investigación de operaciones o investigación operativa es una rama de las matemáticas que consiste en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de modelar y resolver problemas complejos determinando la solución óptima y permitiendo, de este modo, tomar decisiones. Frecuentemente trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como la maximización de los beneficios o la minimización de costos.
Aunque su nacimiento como ciencia se establece durante la Segunda Guerra Mundial y debe su nombre a las operaciones militares, los verdaderos orígenes de la Investigación Operativa se remontan mucho más atrás en el tiempo, hasta el siglo XVII. Esta disciplina nació en Inglaterra durante la Segunda Guerra Mundial como estrategia para encontrar soluciones a problemas militares, para ello fue necesario crear un Grupo de Investigación de Operaciones Militares conformado por un grupo de científicos multidisciplinares. Al terminar la guerra este método fue empleado en darle solución a problemas generales como el control de inventarios, asignación de recursos, líneas de espera, entre otros. Esta técnica cumplió sus objetivos en la década de los cincuenta y sesenta, hasta su desarrollo total en la actualidad. Sin embargo su auge es debido, en su mayor parte, al gran desarrollo de la informática, gracias a la cual es posible resolver problemas en la práctica y obtener soluciones que de otra forma conllevarían un enorme tiempo de cálculo. Debido a este éxito, la Investigación Operativa se extendió a otros campos tales como la industria, física, informática, economía, estadística y probabilidad, ecología, educación, servicio social, …, siendo hoy en día utilizada prácticamente en todas las áreas. Algunos de los promotores más importantes de la filosofía y aplicación de la investigación de operaciones son C.W. Churchman, R.L. Ackoff y R. Bellman. Actualmente la Investigación Operativa incluye gran cantidad de ramas como la Programación Lineal, Programación No Lineal, Programación Dinámica, Simulación, Teoría de Colas, Teoría de Inventarios, Teoría de Grafos, etc.
Os presento ahora un vídeo, que no llega a 3 minutos de duración sobre el tema. Espero que os guste.
En este artículo traigo a colación un vídeo donde el psicólogo Barry Schwartz apunta hacia un principio central de las sociedades occidentales: la libertad de elección. Según la estimación de Schwartz, elegir no nos ha hecho más libres sino más paralizados, no más felices sino más insatisfechos.
Desconozco si estaréis de acuerdo con esta paradoja, pero es un buen punto de arranque para discutir en clase preguntas tan interesantes como: ¿por qué es tan difícil tomar una decisión?, ¿qué pasa cuando hay muchas posibilidades de elegir algo?, ¿qué relación existe entre el coste de oportunidad y la posibilidad de elegir algo? o ¿estás de acuerdo que un aumento desmesurado en la capacidad de elegir disminuye la satisfacción?
Uno de los puntos a los que me gusta llegar con estas reflexiones es a plantear a los alumnos de posgrado cómo la realidad es mucho más compleja de lo que parece y cómo la enseñanza tradicional en el campo de las ingenierías, donde un problema se enseña a solucionarlo de un modo concreto (solo una solución, que suele ser el resultado correcto en un examen), se aleja de la realidad, donde siempre existe un cúmulo de posibles soluciones, muchas de ellas válidas. El problema consiste en elegir entre todas ellas con criterio.
La optimización significa hallar el valor máximo o mínimo de una cierta función, definida en un dominio. En los problemas de decisión que generalmente se presentan en la vida empresarial existen una serie de recursos escasos (personal, presupuesto, tiempo), o de requisitos mínimos a cumplir (producción, horas de descanso), que condicionan la elección de la solución adecuada, ya sea a nivel estratégico, táctico e incluso operativo. Por lo general, el propósito perseguido al tomar una decisión consiste en llevar a cabo el plan propuesto de una manera óptima: mínimos costos o máximo beneficio.
Desgraciadamente, la complejidad de las situaciones reales es de tal magnitud que en numerosas ocasiones son inviables los métodos matemáticos de resolución exactos, de modo que los problemas de optimización planteados frecuentemente se resuelven con métodos aproximados que proporcionan soluciones factibles que sean satisfactorias.
Os dejamos aquí un pequeño vídeo para divulgar lo que significa un modelo matemático de optimización. Espero que os guste.
Un algoritmo es un conjunto prescrito de reglas o instrucciones bien definidas para la resolución de un problema. En general, se trata de encontrar el método más “eficiente”, no siendo baladí el modo de medir dicha eficiencia. Para resolver esta circunstancia, en la década de los 70 numerosos científicos se interesaron por la complejidad computacional de los problemas y los algoritmos. En muchos casos se asimila el rendimiento algorítmico a la medida del tiempo medio de ejecución empleado por un procedimiento para completar su operación con un conjunto de datos. Además, es posible relacionar el esfuerzo de cálculo con la dimensión del problema a resolver.
Un algoritmo muestra una complejidad polinómica si necesita un tiempo O(nk), donde n muestra la dimensión de entrada y k es una constante independiente de n. Si la función que denota la complejidad no está acotada por un polinomio, el algoritmo presenta una complejidad en tiempo exponencial.
Un problema de decisión es aquel que puede ser contestado con una afirmación o una negación. Llamemos P a la clase de problemas de decisión que pueden ser resueltos en tiempo cálculo que crece de forma polinomial ante incrementos lineales del número de elementos que intervienen, y NP aquellos solubles en un tiempo polinomial indeterminado, es decir, que se puede resolver en tiempo polinomial con una máquina Turing no determinística (ordenador). Un ordenador no determinístico puede ser contemplado como un autómata capaz de ejecutar un número ilimitado (pero finito) de ejecuciones en paralelo. Sólo los problemas en P son resolubles eficientemente mediante algoritmos, no conociéndose un procedimiento polinomial de resolución para los NP, siendo obvio que P pertenezca NP. Si lo contrario también ocurriera, P pertenecería a NP, querría decir que para la mayoría de los problemas de interés existen algoritmos eficientes que los resolvieran. Sin embargo, no se conoce la forma de demostrar que la igualdad P=NP sea cierta, ni tampoco que haya problemas en NP que no estén en P, es decir, la existencia de algún problema en NP que no se pueda resolver en tiempo polinómico (ver Díaz et al., 1996).
Un problema X se dice que es NP-completo (NPC) si cualquier problema en NP se puede transformar en X en tiempo polinomial. En este sentido, los NPC son una clase de problemas en NP muy difíciles. Si un solo problema en NPC se resolviera en tiempo polinomial, entonces todos los problemas NP también lo harían, lo cual no está demostrado a fecha de hoy. Sin embargo, no es necesario demostrar que un problema pertenece a NP para ofrecer evidencias de que es imposible resolverlo eficientemente. Sea Y un problema de decisión que no se conoce si es NP. Si un problema en NP-completo puede transformarse en Y, entonces Y no puede resolverse en tiempo polinomial (salvo que se demuestre que P=NP). Este problema Y sería como mínimo tan difícil como los NPC, llamándose NP-hard (NPH). Es decir, pueden existir problemas NPH que no sean NPC. A efectos prácticos únicamente nos interesa confirmar la NP-dificultad de un problema.
En la vida real existen numerosos problemas prácticos para los cuales se desconocen algoritmos eficientes (Yepes, 2002), pero cuya dificultad intrínseca no ha conseguido demostrar nadie. Es posible que existan realmente algoritmos eficientes, aunque también puede ocurrir que estos problemas sean intrínsecamente difíciles; no obstante, se carecen de las técnicas necesarias para demostrarlo. La importancia práctica de estos problemas ha asegurado que cada uno de ellos por separado haya sido objeto de esfuerzos sostenidos para hallar un método de solución eficiente. Por este motivo, se cree que no existen tales algoritmos. Como nadie, de momento, ha encontrado algoritmos eficientes para los problemas NP-completos, en cuanto se demuestra que un problema pertenece a esta clase, muchos investigadores tienden a pensar que no merece la pena buscar algoritmos eficientes para ellos. Lamentablemente, muchos de los problemas importantes que aparecen en Investigación Operativa son NP-completos. En Garey y Johnson (1979) se encuentra una visión más completa de la complejidad computacional.
REFERENCIAS
DÍAZ, A.; GLOVER, F.; GHAZIRI, H.M.; GONZÁLEZ, J.L.; LAGUNA, M.; MOSCATO, P.; TSENG, F.T. (1996). Optimización Heurística y Redes Neuronales en Dirección de Operaciones e Ingeniería. Paraninfo, Madrid. 235 pp.
GAREY, M.R.; JOHNSON, D.S. (1979). Computers and Intractability – A Guide to the Theory of NP-Completeness. W. H. Freeman and Company.
YEPES, V. (2002). Optimización heurística económica aplicada a las redes de transporte del tipo VRPTW. Tesis Doctoral. Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Universitat Politècnica de València. 352 pp. ISBN: 0-493-91360-2. (pdf)
Empezamos una serie de artículos que van a tratar aspectos relacionados con el transporte, la logística, la distribución de mercancías, la investigación de las operaciones y, en definitiva, la toma de decisiones en las empresas. Como siempre, el objeto es divulgativo, abriendo puertas a la reflexión y no pretendiendo, ni mucho menos, abarcar todos los aspectos relativos a un tema determinado. Empezamos, pues.
El National Council of Physical Distribution Management definió, en 1979 (ver Ballou, 1991) la gestión de la distribución física como “todas aquellas actividades encaminadas a la planificación, implementación y control de un flujo creciente de materias primas, recursos de producción y productos finales desde el punto de origen al de consumo”. Entre estas tareas se encuentran el servicio al cliente, la previsión de la demanda, el control de inventarios, los servicios de reparación, el manejo de mercancías, el procesamiento de pedidos, la selección de la ubicación geográfica de las fábricas y los almacenes, las compras, el empaquetado de productos, el tratamiento de las mercancías devueltas, la recuperación y tratamiento de desperdicios, la distribución y el transporte, y el almacenamiento. Sin embargo, otros autores prefieren emplear el término de logística empresarial.
La importancia de la eficacia y la eficiencia de la gestión de la distribución adquiere su verdadera magnitud cuando se consideran los costes. Kotler (1991) indica que los principales elementos de los costes de la distribución física son el transporte (37%), el control de existencias (22%), el almacenamiento (21%) y otros como la recepción de órdenes, el servicio al cliente, la distribución y la administración (20%). El mismo autor cree, al igual que otros expertos, que pueden conseguirse ahorros sustanciales en el área de la distribución física, la cual ha sido descrita como “la última frontera para obtener economías en los costes” y “el continente oscuro de la economía”. Drucker (1962) describió las actividades logísticas que se llevaban a cabo tras la fabricación como las “áreas peor realizadas y a la vez más prometedoras dentro del mundo industrial”.
Muchas empresas sostienen que el objetivo último de la distribución física es obtener las mercancías necesarias, llevarlas a los lugares oportunos a su debido tiempo y al coste más bajo posible. Sin embargo, y tal como afirma Kotler (1991), no existe ningún sistema de distribución que pueda, simultáneamente, maximizar el servicio al cliente y minimizar los costes de distribución, puesto que lo primero supone un elevado coste de existencias, un transporte rápido y múltiples almacenes, factores que incrementan los costes. Se trata de buscar un equilibrio que contemporice los intereses contrapuestos.
La gestión de la distribución física presenta una gran variedad de problemas de decisión que afectan a la planificación en el ámbito estratégico, táctico y operativo. La localización de plantas y almacenes, o la reconfiguración de la red de transporte son decisiones estratégicas, mientras que los problemas relacionados con la dimensión de la flota, o si ésta debe ser propia o alquilada pertenecen al ámbito de las decisiones tácticas. Los problemas habituales en las operaciones son: (a) el establecimiento de rutas para vehículos que, con cierta limitación de capacidad, deben distribuir o recoger mercancías a un grupo de clientes; y (b) la programación de horarios o precedencias entre destinos para satisfacer estos recorridos.
Un estudio del National Council of Physical Distribution (ver Ballou, 1991) estima que el transporte sumó un 15% del Producto Interior Bruto de Estados Unidos en 1978, constituyendo más del 45% de todos los costes logísticos de las organizaciones. El sector de las empresas de servicios públicos y transportes estadounidenses movió en 1991 aproximadamente 506 millardos de dólares, según el Informe del Presidente de 1994 (ver Fisher, 1997). King y Mast (1997) señalan que la valoración anual que implican los excesos de coste en los viajes en Estados Unidos ascienden a 45 millardos de dólares. En Reino Unido, Francia y Dinamarca, por ejemplo, el transporte representa cerca del 15%, 9% y 15% del gasto nacional respectivamente (Crainic y Laporte, 1997; Larsen, 1999). En Japón, los costes logísticos suponen un 26,5% de las ventas, y los de transporte, un 13,5% (Kobayashi, 1973). Estas mismas cifras son del 14,1% y 2,5% en Australia (Stephenson, 1975), y del 16% y 5,5% en Reino Unido (Murphy, 1972). En España, según datos del Ministerio de Fomento (ver CTCICCP, 2001), la participación del sector transporte en el valor añadido bruto del año 1997 se situó en un 4,6%. En cuanto al empleo, 613.400 personas se encontraban ocupadas en el año 1999 en el sector del transporte público en nuestro país, lo cual supone el 3,69% de la población activa.
Existe una gran variación entre los costes logísticos de las distintas empresas. Ballou (1991) indica que estas cifras oscilan entre menos del 4% sobre las ventas en aquellas empresas que producen y distribuyen mercancías de alto valor, hasta más de un 32% en aquellas otras que lo hacen en las de bajo valor. El mismo autor apunta que los costes de transporte representan entre una tercera y dos terceras partes del total de costes logísticos. Se estima que los costes de distribución suponen casi la mitad del total de los costes logísticos en algunas industrias, y que en las de alimentación y bebidas pueden incrementar un 70% el coste de las mercancías (De Backer et al., 1997; Golden y Wasil, 1987). Además, la importancia de la programación de rutas se manifiesta claramente con el dato aportado por Halse (1992) informando que en 1989, el 76,5% de todo el transporte de mercancías se realizó con vehículos.
Así, las actividades que conforman la planificación operativa de la distribución física implican un gran número de pequeñas decisiones interrelacionadas entre sí. Además, la cifra de planes posibles crece exponencialmente con la dimensión del problema. Incluso para flotas pequeñas y con un número moderado de peticiones de transporte, la planificación es una tarea altamente compleja. Por tanto, no es de extrañar que los responsables de estos asuntos simplifiquen al máximo los problemas y utilicen procedimientos particulares para despachar sus vehículos basándose, en multitud de ocasiones en la experiencia de errores anteriores. Existe un amplio potencial de mejora claramente rentable para las unidades de negocio.
La planificación y la gestión de las redes de distribución exige la disposición de técnicas eficientes de optimización de rutas, puesto que no sólo afecta al desarrollo de las operaciones, sino que también incide en las decisiones tácticas y estratégicas (tamaño óptimo de flota, estimación de costes, políticas de publicidad y rotura de servicio, etc.
Medina y Yepes (2000) proporcionan un ejemplo práctico que muestra cómo la aplicación de técnicas de optimización condiciona críticamente el desarrollo de ciertas operaciones de distribución. Se trata de un negocio de venta de paquetes turísticos con transporte incluido; donde los precios se fijan mucho antes de que la demanda sea conocida, y donde son frecuentes las cancelaciones de última hora así como la llegada de nuevos clientes. Si el número de pasajeros es pequeño, en comparación con la máxima capacidad de carga del vehículo, los beneficios o las pérdidas generadas por el transporte dependen fuertemente de la eficiencia del sistema de optimización de rutas. La figura que sigue describe la influencia de la optimización de operaciones en la planificación y gestión de redes de distribución de baja demanda.
Planificación y gestión de redes de distribución. Fuente: Medina y Yepes (2000).
En apretada síntesis, la planificación y la gestión de las redes de distribución genera una gran variedad de problemas de decisión, cuyo éxito depende críticamente de la optimización de las operaciones, donde el espectro de soluciones posibles es enorme y además creciente exponencialmente con el número de destinos y el tamaño de la flota. Esta explosión combinatoria de soluciones y la complejidad de las variables impiden que la optimización sea, en muchas situaciones reales, abordable con técnicas de resolución exactas. Afortunadamente, existen procedimientos alternativos que, si bien no garantizan la solución óptima, sí proporcionan soluciones de calidad a los problemas cotidianos.
De esta forma, la resolución de los problemas de distribución se convierte en una de las parcelas notables de la Investigación Operativa. Incluso el recorte de una pequeña fracción de los costes puede aflorar enormes ahorros económicos y una reducción de los impactos medioambientales ocasionados por la polución y el ruido, además de incrementar significativamente la satisfacción de los requerimientos de los clientes.
Referencias
BACKER DE, B.; FURNON, V.; PROSSER, P.; KILBY, P.; SHAW, P.(1997). Local Search in Constraint Programming: Application to the Vehicle Routing Problem. Presented at the CP-97 Workshop on Industrial Constraint-based Scheduling, Schloss Hagenberg, Austria.
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DRUCKER, P. (1962). The Economy’s Dark Continent. Fortune, april: 265-270.
GOLDEN, B.L.; WASIL, E.A. (1987). Computerized Vehicle Routing in the Soft Drink Industry. Operations Research, 35: 6-17.
HALSE, K. (1992). Modeling and Solving complex Vehicle Routing Problems. Ph.D. thesis, Department for Mathematical Modelling, Technical University of Denmark, Lyngby, Denmark.
KING, G.F.; MAST, C.F. (1997). Excess Travel: Causes, Extent and Consequences. Transportation Research Record, 1111: 126-134.
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MEDINA, J.R.; YEPES, V. (2000). Optimización de redes de distribución con algoritmos genéticos, en Colomer, J.V. y García, A. (Eds.): Calidad e innovación en los transportes. Actas del IV Congreso de Ingeniería del Transporte. Vol. 1, pp. 205-213. Valencia.
MURPHY, G.J. (1972). Transport and Distribution. Business Books. London.
STEPHENSON, A.R. (1975). Productivity Promotion Council of Australia: 7-10.
YEPES, V. (2002). Optimización heurística económica aplicada a las redes de transporte del tipo VRPTW. Tesis Doctoral. Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Universidad Politécnica de Valencia. 352 pp.
¿Cómo se podrían optimizar en tiempos de cálculo razonable problemas complejos de redes de transporte, estructuras de hormigón (puentes, pórticos de edificación, túneles, etc.) y otro tipo de problemas de decisión empresarial cuando la dimensión del problema es de tal calibre que es imposible hacerlo con métodos matemáticos exactos? La respuesta son los métodos aproximados, también denominados heurísticas. Este artículo divulgativo trata de ampliar otros anteriores donde ya hablamos de los algoritmos, de la optimización combinatoria, de los modelos matemáticos y otros temas similares. Para más adelante explicaremos otros temas relacionados específicamente con aplicaciones a problemas reales. Aunque para los más curiosos, os paso en abierto, una publicación donde se han optimizado con éxito algunas estructuras de hormigón como muros, pórticos o marcos de carretera: (González et al, 2008).
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