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¿Qué es la metodología de la superficie de respuesta?

La Metodología de la Superficie de Respuesta (RSM) es un conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas utilizadas para modelar y analizar problemas en los que una variable de interés es influenciada por otras.  El propósito inicial de estas técnicas es diseñar un experimento que proporcione valores razonables de la variable respuesta y, a continuación, determinar el modelo matemático que mejor se ajusta a los datos obtenidos. El objetivo final es establecer los valores de los factores que optimizan el valor de la variable respuesta. Esto se logra al determinar las condiciones óptimas de operación del sistema.

La diferencia entre (RSM) y un diseño experimental corriente estriba en que un diseño experimental por si solo tiene como objetivo localizar el tratamiento «ganador» entre todos aquellos que se han probado. En cambio, RSM pretende localizar las condiciones óptimas de operación del proceso. Ello supone un reto para el investigador, requiere una estrategia más completa e incluye la posibilidad de efectuar varios experimentos secuenciales y el uso de técnicas matemáticas más avanzadas.

Os dejo a continuación un vídeo explicativo que espero os aclare la metodología.

Otro vídeo complementario al anterior es el siguiente:

Referencias:

  • Box, G. E. P., Wilson, K. G. (1951), On the experimental attainment of optimum conditions,Journal of the Royal Statistical Society, B 13, 1-45
  • Cornell, John A. (1984), How to apply Response Surface Methodology, American Society for Quality Control, Milwaukee, WI.
  • Kuehl, Robert O. (2001) Diseño de Experimentos, 2a. Edición, Thomson Learning.
  • Melvin T. A. Response Surface Optimization using JMP Software, < http://www2.sas.com/proceedings/sugi22/STATS/PAPER265.PDF>
  • Montgomery, D. C. (2002), Diseño y Análisis de Experimentos, Editorial Limusa, Segunda Edición.
  • http://www.cicalidad.com/articulos/RSM.pdf
  • http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lii/peregrina_p_pm/capitulo2.pdf

Diseño de experimentos en cuadrado latino

En el diseño en cuadrado latino se tienen cuatro fuentes de variabilidad que pueden afectar a la respuesta observada: los tratamientos, el factor de bloque I (columnas), el factor de bloque II (filas) y el error aleatorio. Se llama cuadrado latino porque se trata de un cuadrado que tiene la restricción adicional de que los tres factores involucrados se prueban en la misma cantidad de niveles, y es latino porque se utilizan letras latinas para denotar a los tratamientos o niveles de factor de interés.

Veamos un ejemplo práctico: se trata de averiguar si la resistencia característica del hormigón a compresión (MPa) varía con cuatro dosificaciones diferentes (D1, D2, D3, D4). Para ello se han preparado amasadas en 4 amasadoras diferentes y los ensayos se han realizado en 4 laboratorios diferentes. Los resultados obtenidos se han representado en la tabla que sigue.

TIPO DE AMASADORA
1 2 3 4
Laboratorio 1 26,7 (D3) 19,7 (D1) 28,0 (D2) 29,4 (D4)
Laboratorio 2 23,1 (D1) 20,7 (D2) 24,9 (D4) 29,0 (D3)
Laboratorio 3 28,3 (D2) 20,1 (D4) 29,0 (D3) 27,3 (D1)
Laboratorio 4 25,1 (D4) 17,4 (D3) 28,7 (D1) 34,1 (D2)

 

En este caso, la variable de respuesta es la resistencia característica del hormigón a compresión (MPa), el factor es la dosificación, y los bloques son las amasadoras y los laboratorios. Se supone que no existe interacción entre el factor y los bloques entre sí. El ANOVA trata de comprobar los efectos de los tratamientos (las dosificaciones).

Os dejo a continuación un videotutorial para resolver este diseño con el programa estadístico SPSS.

Referencias:

  • Gutiérrez, H.; de la Vara, R. (2004). Análisis y Diseño de Experimentos. McGraw Hill, México.
  • Vicente, MªL.; Girón, P.; Nieto, C.; Pérez, T. (2005). Diseño de Experimentos. Soluciones con SAS y SPSS. Pearson, Prentice Hall, Madrid.
  • Pérez, C. (2013). Diseño de Experimentos. Técnicas y Herramientas. Garceta Grupo Editorial, Madrid.

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Caracterización estadística de tableros pretensados para carreteras

El presente artículo presenta una caracterización estadística de una muestra de 87 tableros reales de pasos superiores pretensados de canto constante para carreteras. El objetivo principal es encontrar fórmulas de predimensionamiento con el mínimo número de datos posible que permita mejorar el diseño previo de estas estructuras. Para ello se ha realizado un análisis exploratorio y otro multivariante de las variables geométricas determinantes, de las cuantías de materiales y del coste, tanto para tableros macizos como aligerados. Los modelos de regresión han permitido deducir que el canto y la armadura activa quedan bien explicados por la luz, mientras que la cuantía de hormigón lo es por el canto. La variable que mejor explica (71,3%) el coste por unidad de superficie de tablero en losa maciza es el canto, mientras que en las aligeradas es la luz (51,9%). Las losas macizas son económicas en vanos inferiores a los 19,24 m. La luz principal y los voladizos, junto con la anchura del tablero para el caso de losas macizas, o el aligeramiento interior en el caso de las aligeradas, bastan para predimensionar la losa, con errores razonables en la estimación económica.

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Diseño de experimentos por bloques completos al azar

El diseño en bloques completos al azar trata de comparar tres fuentes de variabilidad: el factor de tratamientos, el factor de bloques y el error aleatorio. El adjetivo completo se refiere a que en cada bloque se prueban todos los tratamientos. La aleatorización se hace dentro de cada bloque.

Para ilustrar el diseño, supongamos que queremos determinar si cuatro laboratorios miden la misma resistencia característica del hormigón a compresión. Para ello se han considerado 5 amasadas diferentes que han sido analizadas por cada uno de los laboratorios. A los 28 días, se han roto las probetas a compresión simple y los resultados son los que hemos recogido en la tabla que sigue.

 

AMASADA
1 2 3 4 5
Laboratorio 1 63,5 63,2 62,3 65,6 65,0
Laboratorio 2 64,1 64,2 63,0 64,2 64,9
Laboratorio 3 65,9 65,0 63,9 66,0 65,8
Laboratorio 4 64,9 65,2 64,1 65,9 67,9

 

En este caso, la variable de respuesta es la resistencia característica del hormigón a compresión (MPa), el factor es el laboratorio (4 niveles), el bloque es la amasada (no son objeto directo de motivo del estudio). Por otra parte, se considera que no existe interacción entre el laboratorio y la amasada (factor y bloque).

En este tipo de experimento, la medición será el resultado del efecto del tratamiento (laboratorio) donde se encuentre, del efecto del bloque al que pertenece (amasada) y de cierto error que se espera que sea aleatorio. La hipótesis de que las medias son iguales se va a analizar con el análisis de la varianza (ANOVA), con dos criterios de clasificación.

A parte de los supuesto de normalidad, igualdad de varianzas y de independencia, aquí se añade otro que es que no existe interacción entre el factor y el bloque.

Para los curiosos, después de haber analizado los datos, diremos que en este caso, con una seguridad del 95%, se aprecian diferencias significativas entre las resistencias medidas por los laboratorios 1 y 3, entre los laboratorios 1 y 4,  y entre los laboratorios 2 y 4.

A continuación os dejo un vídeo donde os enseño cómo podemos analizar este problema con el programa estadístico SPSS. Espero que os sea útil.

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¿Podemos cumplir con las tolerancias exigidas en obra?

No es raro verse en una situación comprometida cuando vemos que nuestra planta de fabricación de hormigón o de aglomerado asfáltico empieza a no cumplir con las exigencias de calidad del producto terminado. Empezamos a buscar culpables por todos los sitios y no nos damos cuenta que el problema está en el procedimiento, las máquinas empleadas o las propias personas. En definitiva, nuestro proceso es incapaz de cumplir con las tolerancias solicitadas para nuestro producto. Hay que tener esta idea muy clara pues existe cierta variabilidad debida a causas comunes que sólo se podrá solucionar si se cambia la máquina o el proceso, lo cual implica una decisión por parte de la alta dirección. Este aspecto lo hemos explicado en un artículo anterior.

Después de comprobar que el proceso está bajo control, el siguiente paso es saber si es un proceso capaz, es decir, si cumple con las especificaciones técnicas deseadas, o lo que es lo mismo, comprobar si el proceso cumple el objetivo funcional. Se espera que el resultado de un proceso cumpla con los requerimientos o las tolerancias que ha establecido el cliente. El departamento de ingeniería puede llevar a cabo un estudio sobre la capacidad del proceso para determinar en que medida el proceso cumple con las expectativas.

La habilidad de un proceso para cumplir con la especificación puede expresarse con un solo número, el índice de capacidad del proceso o puede calcularse a partir de los gráficos de control. En cualquier caso es necesario tomar las mediciones necesarias para que el departamento de ingeniera tenga la certeza de que el proceso es estable, y que la media y variabilidad de este se pueden calcular con seguridad. El control de proceso estadístico define técnicas para diferenciar de manera adecuada entre procesos estables, procesos cuyo promedio se desvía poco a poco y procesos con una variabilidad cada vez mayor. Los índices de capacidad del proceso son solo significativos en caso de que el proceso sea estable (sometidos a un control estadístico).

Para aclarar estas ideas, o paso un Polimedia explicativo que espero os guste.

Definiciones básicas del diseño de experimentos

Entendemos por experimento el cambio en las condiciones de operación de un sistema o proceso, realizado con el objetivo de medir el efecto del cambio en una o varias variables del producto. Ello nos permite ampliar el conocimiento sobre el sistema o el proceso.

Asimismo, entendemos por “diseño de un experimento” la planificación de un conjunto de pruebas experimentales, de modo que los datos generados puedan analizarse estadísticamente para obtener conclusiones válidas y objetivas acerca del problema establecido.

En un experimento, es muy importante su reproducibilidad, es decir, poder repetirlo. Ello nos proporciona una estimación del error experimental y permite obtener una estimación más precisa del efecto medio de cualquier factor.

 

Veamos algunas definiciones importantes en el diseño de experimentos:

  • Unidad experimental: es la muestra de unidades que es necesario producir en una condición para obtener una medición o un dato representativo. Unidad a la cual se le aplica un solo tratamiento (puede ser una combinación de muchos factores) en una reproducción del experimento.
  • Variables de respuesta: son las características del producto cuyo valor interesa mejorar mediante el diseño de experimentos.
  • Factor: una variable independiente. En la mayoría de las investigaciones se trata con más de una variable independiente y con los cambios que ocurren en la variable independiente, cuando varía una o más de las variables independientes.
  • Factores controlables: son variables del proceso que se pueden fijar en un punto o en un nivel de operación.
  • Factores no controlables: son variables que no pueden controlarse durante la operación normal del proceso.
  • Factores estudiados: son las variables que se investigan en el experimento para observar cómo afectan a la variable de respuesta.
  • Confusión: Dos o más efectos se confunden en un experimento si es posible separarlos en el análisis estadístico posterior.
  • Error aleatorio: Es la variabilidad observada que no puede explicarse por los factores estudiados y se debe al pequeño efecto de los factores no estudiados y al error experimental.
  • Error experimental: componente del error aleatorio que refleja los errores del experimentador en la planificación y la ejecución del experimento.
  • Aleatorización: consiste en realizar experimentos en orden aleatorio; este principio aumenta la probabilidad de que el supuesto de independencia de los errores se cumpla. Asignación al azar del tratamiento a las unidades experimentales. Una suposición frecuente en los modelos estadísticos de diseño de experimentos en los que las observaciones o los errores en ellas están distribuidos de forma independiente. La aleatorización hace válida esta suposición.
  • Repetición: Es correr más de una vez un tratamiento o combinación de factores
  • Bloqueo: Es nulificar o considerar adecuadamente todos los factores que pueden afectar la respuesta observada. Distribución de las unidades experimentales en bloques, de manera que las unidades dentro de un bloqueo sean relativamente homogéneas; de esta manera, la mayor parte de la variación predecible entre las unidades queda confundida con el efecto de los bloques.
  • Tratamiento o combinación de tratamientos: conjunto particular de condiciones experimentales que deben imponerse a una unidad experimental dentro de los confines del diseño seleccionado.

El error aleatorio describe la situación de no llegar a resultados idénticos con dos unidades experimentales tratadas idénticamente y refleja:

  • Errores de experimentación
  • Errores de observación
  • Errores de medición
  • Variación del material experimental (esto es, entre unidades experimentales)
  • Efectos combinados de factores extraños que podrían influir en las características en estudio, pero respecto de los cuales no se ha llamado la atención en la investigación.

El error aleatorio puede reducirse:

  • Usando material experimental más homogéneo o mediante una estratificación cuidadosa del material disponible.
  • Utilizando información proporcionada por variables aleatorias relacionadas
  • Teniendo más cuidado al dirigir y desarrollar el experimento
  • Usando un diseño experimental muy eficiente.

Referencias:

  • Box, G.E.; Hunter, J.S.; Hunter, W.G. (2008). Estadística para investigadores. Diseño, innovación y descubrimiento. Segunda Edición, Ed. Reverté, Barcelona.
  • Gutiérrez, H.; de la Vara, R. (2003). Análisis y diseño de experimentos. McGraw-Hill, México.
  • Vicente, M.L.; Girón, P.; Nieto, C.; Pérez, T. (2005). Diseño de experimentos. Soluciones con SAS y SPSS. Pearson Educación, Madrid.

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