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Eugenio Beltrami: de la geometría no euclidiana a la teoría de estructuras

Eugenio Beltrami (1835-1900) https://www.ecured.cu/

Eugenio Beltrami fue un matemático italiano reconocido por sus contribuciones a la geometría diferencial y la física matemática, por la claridad expositiva de sus escritos. Nació en Cremona el 16 de noviembre de 1835, en el seno de una familia de tradición artística, en el entonces Imperio austríaco. Su padre, Eugenio Beltrami, era pintor de miniaturas y, tras los acontecimientos políticos de 1848, emigró a París, donde se convirtió en conservador de un museo de arte. Desde temprana edad, Beltrami mostró inclinación por la música, que desempeñó un papel importante en su vida junto con las matemáticas.

En 1853, inició sus estudios de matemáticas en la Universidad de Pavía, donde fue discípulo de Francesco Brioschi. Sin embargo, en 1856 fue expulsado del Colegio Ghislieri debido a sus opiniones políticas, ya que simpatizaba con el movimiento del Risorgimento. Las dificultades económicas lo obligaron a interrumpir sus estudios y, durante varios años, trabajó como secretario en la administración del Ferrocarril Lombardía-Venecia, lo que lo llevó a trasladarse a Verona y, posteriormente, a Milán. Esta experiencia le brindó una perspectiva única sobre la aplicación de las matemáticas en campos como la ingeniería y la física, lo que le permitió comprender mejor la relación entre estos dos campos de estudio y su aplicación en diferentes contextos.

A los 25 años, pudo retomar su educación bajo la tutela de Brioschi y, en 1861, publicó su primer artículo matemático. Al año siguiente, en 1862, fue nombrado profesor en la Universidad de Bolonia, ocupando la cátedra de álgebra y geometría analítica. Gracias a la intervención de Enrico Betti, en 1863 fue designado profesor en la Universidad de Pisa, donde asumió la presidencia de la sección de geodesia. Entre 1863 y 1866, compaginó la docencia con la investigación antes de regresar a la Universidad de Bolonia, donde ocupó la cátedra de mecánica teórica hasta 1873.

En 1868, publicó dos memorias fundamentales sobre la consistencia e interpretaciones de la geometría no euclidiana de Bolyai y Lobachevski. En su Ensayo sobre una interpretación de la geometría no euclidiana, propuso que esta geometría podía modelarse en una superficie de curvatura negativa constante: la pseudoesfera. Consideró la curva conocida como tractriz, cuya rotación alrededor de su asíntota genera la pseudoesfera, y demostró que la geometría intrínseca de esta superficie coincide con la geometría del plano de Lobachevski. Gracias a este modelo, Beltrami proporcionó una base tangible para la geometría no euclidiana en el espacio euclidiano tridimensional ordinario. Además, desarrolló el modelo de Beltrami-Klein, que ofrecía otra representación de la geometría no euclidiana en el interior de una esfera unitaria tridimensional.

Tras la proclamación de Roma como capital del Reino de Italia en 1870, se impulsó la creación de una universidad de referencia nacional con los científicos más destacados. Gracias a su prestigio internacional, Beltrami fue invitado a formar parte de este proyecto y, entre 1873 y 1876, impartió clases de mecánica teórica y análisis superior en la Universidad de Roma. Durante este período, su interés se desplazó hacia la física matemática, lo que lo llevó a ser nombrado profesor de esta disciplina en la Universidad de Pavía en 1876, donde trabajó con gran éxito hasta 1891. En esta etapa, abordó prácticamente todas las áreas de la física matemática y publicó 60 tratados sobre electricidad, magnetismo, teoría del potencial, óptica, calor y elasticidad. Su uso del cálculo diferencial en problemas de física matemática influyó en el desarrollo del cálculo tensorial llevado a cabo por Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita. Asimismo, desarrolló la descomposición de valores singulares para matrices, que posteriormente fue redescubierta en varias ocasiones.

En 1891, Beltrami regresó a la Universidad de Roma, donde permanecería hasta su fallecimiento. En 1898 fue elegido presidente de la Accademia dei Lincei y, en 1899, se convirtió en senador del Reino de Italia. Falleció en Roma el 18 de febrero de 1900, conservando hasta el final la serenidad y el equilibrio que caracterizaron su vida, como un auténtico filósofo de la antigüedad.

Principales contribuciones a la teoría de estructuras:

  • Sulle equazioni generali dell’elasticità (1881)
  • Sulle condizioni di resistenza dei corpi elastici (1885)
  • Sull’interpretazione meccanica delle formule de Maxwell (1886)
  • Note fisico-matematiche (2a parte) (1889/1)
  • Sur la théorie de la déformation infiniment petite d’un milieu (1889/2)
  • Opere matematiche (1902-1920)

 

Sobre la resistencia de los materiales

https://datalights.com.ec/estudio-experimental-en-resistencia-de-materiales/

Hoy os propongo un artículo que trata de la importancia de la Resistencia de Materiales en la ingeniería, destacando su propósito, aplicaciones y conceptos fundamentales.

Explica cómo esta disciplina analiza el comportamiento mecánico de los materiales ante cargas externas, estudiando aspectos como la resistencia, rigidez y estabilidad. Además, compara la Resistencia de Materiales con la Teoría de la Elasticidad y la Teoría de Estructuras, y detalla las aplicaciones en diferentes ramas de la ingeniería. También aborda problemas clave como el dimensionamiento y la comprobación, y clasifica los materiales en frágiles y dúctiles según su comportamiento ante la rotura.

 

1. Objeto y finalidad de la Resistencia de Materiales

Para que una ingeniería funcione, debe tener claro qué estudia y qué quiere lograr. En efecto, toda disciplina ingenieril requiere de una definición clara y precisa de su campo de estudio y de los objetivos que busca alcanzar. En el ámbito de la Resistencia de Materiales, el propósito esencial radica en el análisis del comportamiento mecánico de los materiales ante cargas externas, determinando su capacidad para resistir esfuerzos y deformaciones.

Para ilustrar la relevancia de esta disciplina, veamos un ejemplo: dos piezas de igual geometría, pero fabricadas con materiales diferentes, como el acero y la escayola. Al aplicar una carga creciente sobre ambas, se observa que la pieza de acero soporta valores mucho mayores antes de romperse en comparación con la de escayola. Este comportamiento define la resistencia mecánica como la capacidad intrínseca de un material para resistir la ruptura bajo solicitaciones externas.

Además de la resistencia, es necesario estudiar la rigidez, entendida como la capacidad de un material para limitar sus deformaciones ante la aplicación de cargas. En el ejemplo anterior, el acero experimenta deformaciones mucho menores que la escayola bajo la misma carga, lo que indica que su rigidez es superior. Para cuantificar estas propiedades, la Resistencia de Materiales se apoya en métodos experimentales que permiten caracterizar el comportamiento mecánico de los materiales y validar modelos teóricos aplicables al diseño estructural.

Otro aspecto fundamental en el análisis de los materiales es su estabilidad, entendida como la capacidad de una pieza estructural para conservar su equilibrio y evitar desplazamientos excesivos frente a pequeñas variaciones en la carga aplicada. La evaluación de la estabilidad resulta esencial en el ámbito de la ingeniería, ya que garantiza que los elementos estructurales mantendrán su integridad bajo condiciones de servicio.

En función de estas consideraciones, la Resistencia de Materiales se define como la disciplina encargada del estudio de la resistencia mecánica, la rigidez y la estabilidad de los elementos estructurales.

2. Relación entre la Resistencia de Materiales y la Teoría de la Elasticidad

Tanto la Resistencia de Materiales como la Teoría de la Elasticidad persiguen un mismo propósito: el análisis de la respuesta de los materiales ante cargas externas. No obstante, su principal diferencia estriba en la metodología empleada. Mientras que la Teoría de la Elasticidad formula ecuaciones diferenciales complejas para describir el comportamiento de los sólidos deformables de manera exacta, la Resistencia de Materiales introduce hipótesis simplificadoras que permiten resolver problemas de ingeniería de manera más práctica y eficiente sin perder precisión en la mayoría de las aplicaciones.

Otra diferencia clave es el alcance de cada disciplina. La Resistencia de Materiales se centra en el estudio de elementos individuales dentro de una estructura, determinando los esfuerzos internos y deformaciones en cada componente. Por su parte, la Teoría de Estructuras aborda el análisis integral de la estructura, contemplando la interacción entre sus componentes y evaluando su estabilidad general. Ambas disciplinas son complementarias y su dominio resulta esencial para el diseño de estructuras seguras y funcionales.

3. Aplicaciones de la Resistencia de Materiales

La Resistencia de Materiales es un campo con una amplia gama de aplicaciones en diversas áreas de la ingeniería. Algunas de sus principales áreas de aplicación incluyen:

  • Ingeniería aeronáutica y naval: Diseño de estructuras de aviones y embarcaciones sometidas a cargas aerodinámicas e hidrostáticas.
  • Ingeniería civil: Análisis y diseño de puentes, edificios, presas y otras infraestructuras sometidas a cargas estáticas y dinámicas.
  • Ingeniería de minas: Evaluación estructural de túneles, galerías y sistemas de sostenimiento en excavaciones subterráneas.
  • Ingeniería mecánica: Diseño de componentes mecánicos como engranajes, ejes, soportes, recipientes a presión y estructuras de maquinaria.
  • Ingeniería energética: Análisis estructural de turbinas, calderas y reactores sometidos a altas temperaturas y presiones.
  • Ingeniería metalúrgica: Caracterización y optimización de materiales estructurales para mejorar su comportamiento mecánico.
  • Ingeniería eléctrica: Diseño de estructuras de soporte para equipos eléctricos y torres de transmisión.
  • Ingeniería química: Evaluación de la resistencia mecánica de reactores, tuberías y otros elementos sometidos a esfuerzos térmicos y mecánicos.

En todas las áreas de especialización mencionadas anteriormente, el conocimiento de la resistencia de los materiales resulta imprescindible para asegurar que los elementos estructurales y mecánicos diseñados sean capaces de soportar las solicitaciones a las que estarán expuestos sin comprometer su seguridad o funcionalidad.

4. Problemas fundamentales de la Resistencia de Materiales

La Resistencia de Materiales aborda dos problemas esenciales en el análisis estructural:

  1. Problema de dimensionamiento: Dado un sistema de cargas conocido, se determinan las dimensiones óptimas de un elemento estructural para que los esfuerzos internos y las deformaciones no superen los valores límite establecidos por normativas.
  2. Problema de comprobación: Una vez definidos los parámetros geométricos y mecánicos del elemento, se verifica que las tensiones y deformaciones resultantes cumplan con los valores admisibles de seguridad. Este análisis permite validar el diseño antes de su implementación en campo.

5. Materiales frágiles y dúctiles

Los materiales empleados en ingeniería pueden clasificarse en dos grandes categorías según su comportamiento ante la rotura:

  • Materiales frágiles: Presentan una rotura brusca y sin deformación plástica apreciable, como la escayola, el vidrio y algunos tipos de cerámica. En estos materiales, la fractura ocurre repentinamente cuando la tensión alcanza su valor crítico.
  • Materiales dúctiles: Experimentan una deformación significativa antes de romperse, lo que permite absorber mayores cantidades de energía sin fallar de manera súbita. Ejemplos de estos materiales incluyen el acero estructural, el aluminio y el cobre.

Para mostrar esta diferencia, consideremos de nuevo el caso de las vigas de escayola y acero sometidas a la misma carga creciente. Mientras que la viga de escayola experimenta una fractura abrupta sin mostrar signos de deformación previa, la viga de acero exhibe una respuesta progresiva con plastificación antes de alcanzar su punto de rotura. Esta propiedad hace que los materiales dúctiles sean preferidos en estructuras críticas, ya que permiten detectar señales de falla antes del colapso.

6. Conclusión

La Resistencia de Materiales constituye una disciplina de vital importancia en el ámbito de la ingeniería, puesto que permite analizar y predecir el comportamiento mecánico de los materiales sujetos a cargas externas. Su relación con la Teoría de la Elasticidad y la Teoría de Estructuras la convierte en una herramienta fundamental para el diseño y construcción de infraestructuras seguras y eficientes.

Su aplicación se extiende a diversas áreas de la ingeniería, garantizando que los materiales y componentes estructurales cumplan con los requisitos de resistencia, rigidez y estabilidad. La diferenciación entre materiales frágiles y dúctiles constituye un aspecto primordial en el diseño, ya que incide directamente en la selección de materiales idóneos para cada aplicación específica.

El conocimiento y dominio de la Resistencia de Materiales permite a los ingenieros abordar problemas complejos con soluciones optimizadas, asegurando el correcto desempeño y la seguridad de las estructuras en las que se aplican sus principios.

 

Referencia:

Berrocal, L. O. (2007). Resistencia de materiales. McGraw-Hill.

Os dejo algunos vídeos divulgativos sobre esta materia. Recuerdo que el objetivo es la divulgación en lenguaje sencillo.