Jean-Victor Poncelet

Jean-Victor Poncelet (Metz, 1 de julio de 1788 – París, 22 de diciembre de 1867) fue un destacado matemático e ingeniero francés cuyas importantes contribuciones permitieron revalorizar la geometría proyectiva como una disciplina matemática fundamental.

En el ámbito matemático, su trabajo más relevante se centró en esta disciplina. Sin embargo, una de sus primeras colaboraciones con Charles Julien Brianchon resultó en una significativa aportación al teorema de Feuerbach. También realizó descubrimientos sobre los conjugados armónicos proyectivos y estableció relaciones entre los polos y las líneas polares asociadas a las secciones cónicas. Desarrolló el concepto de líneas paralelas que se encuentran en un «punto en el infinito» y definió los puntos circulares en el infinito que corresponden a cada círculo del plano. Estos avances condujeron a los principios de dualidad y continuidad, que expuso en su obra Traité des propriétés projectives des figures, y que también fueron fundamentales para el desarrollo de los números complejos. El principio de dualidad establece que todo enunciado de geometría proyectiva plana sigue siendo válido si se sustituyen los puntos por rectas, las rectas por puntos, la concurrencia de rectas por la alineación de puntos, etc., y viceversa. El axioma de continuidad permite un sistema completo de proyecciones, llamado sistema proyectivo.

Como teniente de ingenieros, participó en la campaña rusa de Napoleón, en la que fue abandonado como muerto en Krasnoyarsk y encarcelado en Saratov; regresó a Francia en 1814. Tras su liberación, fue nombrado profesor de mecánica en la École d’application de su ciudad natal, Metz, donde publicó su célebre obra Introduction à la mécanique industrielle y mejoró el diseño de turbinas y ruedas hidráulicas. En 1837, la Universidad de París creó una cátedra especialmente para él, de mecánica física y experimental, en la Sorbona. En 1848, Poncelet fue nombrado comandante general de su alma mater, la École Polytechnique.

Su legado perdura, y se le honra al incluir su nombre entre los ingenieros y científicos más destacados de Francia, cuya memoria está representada en la primera etapa de la Torre Eiffel. Es uno de los 72 científicos cuyo nombre figura inscrito en la Torre Eiffel.

Su padre, Claude Poncelet, era un rico terrateniente que ejercía de abogado en el Parlamento de Metz. Su madre era Anne-Marie Perrein, pero Jean-Victor era hijo ilegítimo y, aunque nació en Metz, antes de cumplir un año fue enviado a vivir con la familia Olier en Saint-Avold, ciudad situada al este de Metz. Cabe señalar que, mucho tiempo después, Claude Poncelet se casó con Anne-Marie Perrein, por lo que Jean-Victor es legítimo desde entonces. La familia Olier le cuidó con mucho amor y cariño y vivió con ellos hasta 1804, cuando cumplió 15 años. Fue una época feliz para Poncelet, que mostraba una gran curiosidad por todo lo que le rodeaba, en particular por los objetos mecánicos, y pasaba muchas horas jugando con el mecanismo de un reloj que le habían regalado.

A los quince años, Poncelet regresó a Metz, donde estudió en el liceo y asistió a clases especiales para prepararse para los exámenes de ingreso en la École Normale y la École Polytechnique. Demostró ser mucho más dotado que sus compañeros de clase y rápidamente se destacó como el mejor de su curso. Ingresó en la École Polytechnique en 1807, donde tuvo profesores de la talla de Monge, Carnot, Brianchon, Lacroix, Ampère, Legendre, Poinsot, Poissony y Hachette. Sin embargo, su salud era delicada y perdió la mayor parte de su tercer año. Se graduó en la École Polytechnique en 1810, con 22 años, más de lo habitual, debido a que se tomó un año extra por sus problemas de salud, y se decantó por la carrera militar. Se alistó en el Cuerpo de Ingenieros y se trasladó a Metz para estudiar en la École d’Application. Tras dos años de estudios, se graduó con el grado de teniente y, en marzo de 1812, su primera misión fue trabajar en las fortificaciones de Ramekens, en la isla de Walcheren, en el estuario del río Escalda (o Escaut).

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En “Correspondance sur l’Ecole Impériale polytechnique”, volumen 2, número 3, placa 4, figura 4. Ilustra la solución de Poncelet al Problema de Apolonio. https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4174926

Sin embargo, fue llamado a filas en junio de 1812 para participar en la campaña rusa de Napoleón. Fue hecho prisionero por los rusos en noviembre de 1812. Durante sus años de cautiverio, extendió la Géométrie descriptive de Monge (1794/1795) y transformó los principios en su famoso libro sobre geometría proyectiva (Poncelet, 1822). Tras su regreso a Francia en septiembre de 1814, trabajó como oficial de ingeniería en diversos proyectos de ingeniería militar, incluidos los trabajos de fortificación en Metz.

En 1824, Poncelet fue finalmente nombrado profesor en la École d’application de l’Artillerie et du Génie en Metz, donde enseñó – con elegancia, simplicidad y claridad – los fundamentos de una mecánica aplicada basada en máquinas a los oficiales que asistían al famoso curso Mécanique appliquée aux machines desde 1825 hasta 1834; sus conferencias fueron publicadas en ediciones litografiadas (Poncelet, 1826–1832).

Además, entre 1827 y 1830, presentó las populares conferencias nocturnas sobre aplicaciones de la geometría y la mecánica en la industria para trabajadores e industriales en Metz (Cours de mécanique industrielle), que fueron publicadas con el título Introduction à la mécanique industrielle (Poncelet, 1829, 1841, 1870). Tanto el Cours de mécanique appliquée aux machines de Poncelet como su Introduction à la mécanique industrielle pueden considerarse los dos documentos fundacionales más importantes de la mecánica aplicada.

Al igual que el Résumé des Leçons de Navier constituye la obra principal de la fase de constitución de la teoría de estructuras (1825–1850), las dos obras de Poncelet hicieron una contribución vital a la fase de constitución de la mecánica aplicada (1825–1850). Basado en su trabajo sobre geometría proyectiva (Poncelet, 1822), también resolvió problemas en la teoría de arcos de mampostería (Poncelet, 1822) y la teoría de la presión del suelo. Por ejemplo, el Mémoire sur la stabilité des revêtements et de leurs fondation (1840) de Poncelet, que fue traducido al alemán y ampliado por J. W. Lahmeyer (Poncelet, 1844), contiene la determinación gráfica de la presión del suelo que actúa sobre los muros de contención.

Poncelet se convirtió en miembro del Consejo Municipal de Metz, secretario del Consejo General del Departamento de Mosela (1830), miembro de la Academia de Ciencias de París (1834) y, entre 1838 y 1848, profesor de la Facultad de Ciencias de París. Su carrera militar también es impresionante: en 1848 alcanzó el rango de brigadier general y, ese mismo año, fue nombrado comandante de la École Polytechnique, y en este puesto fue designado comandante en jefe de la Guardia Nacional del Departamento del Sena. Poncelet se retiró a finales de octubre de 1850. Finalmente, para coronar su carrera militar, Poncelet fue nombrado Gran Oficial de la Legión de Honor, el 9 de julio de 1853

El gobierno francés envió a Poncelet a formar parte de los jurados de las Exposiciones Universales de Londres (1851) y París (1855), y escribió libros detallados sobre estas. Rühlmann llamó a Poncelet el «Euler del siglo XIX» porque, al igual que Euler, fue un «creador de teorías totalmente nuevas, un promotor de las ciencias abstractas y empíricas…». Tuvo la suerte de poder participar en el periodo más importante del surgimiento y desarrollo de la industria, la construcción y la mecánica de las máquinas. Al igual que Euler, Poncelet también fue un excelente maestro que, con las presentaciones más simples y una rigurosidad moderada, sabía cautivar a sus estudiantes y hacerles entusiasmar con la ciencia» (Rühlmann, 1885, pp. 387-389).

Tras una larga y penosa enfermedad, falleció en diciembre de 1867. Al año siguiente, su esposa fundó el Premio Poncelet, en cumplimiento de su último deseo, que las ciencias progresaran. A partir de 1876, la Academia de Ciencias concedió este premio, incrementado con otra suma de dinero, a trabajos de matemáticas puras o mecánica. Sus manuscritos inéditos sobrevivieron hasta la Primera Guerra Mundial, momento en el que desaparecieron y no se ha vuelto a saber de ellos. Lamentablemente, es muy probable que fueran destruidos en esa época.

Principales contribuciones a la teoría de estructuras:

  • Traité des propriétés projectives des figures [1822]
  • Cours de mécanique appliquée aux machines [1826–1832]
  • Mémoire sur les centres de moyennes harmoniques; pour faire suite au traité des propriétés projectives des figures et servir d’introduction à la Théorie générale des propriétés projectives des courbes et surfaces géométriques [1828]
  • Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques; pour faire suite au Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques [1829/1]
  • Analyse des transversales appliquée à la recherche des propriétés projectives des lignes et surfaces géométriques [1832]
  • Introduction à la mécanique industrielle [1829, 1841, 1870]
  • Solution graphique des principales questions sur la stabilité des voûtes [1835]
  • Mémoire sur la stabilité des revêtements et de leurs fondations [1840]
  • Über die Stabilität der Erdbekleidungen und deren Fundamente [1844]
  • Examen critique et historique des principales théories ou solutions concernant l’équilibre des voûtes [1852]

¿Cómo se han diseñado los arcos a lo largo de la historia?

Pequeño puente de fábrica sobre el río de Pola de Somiedo (Asturias). Fotografía V. Yepes.
Pequeño puente de fábrica sobre el río de Pola de Somiedo (Asturias). Imagen: © V. Yepes, 2010

Seguimos con este artículo un repaso histórico de los arcos. Como en su día se dijo, este es un “invento diabólico” que revolucionó en su momento el arte de construir. Vamos, pues a seguir con esta labor divulgadora, a sabiendas que nos dejamos muchas cosas por el camino.

Desde la Roma clásica al Renacimiento, los arcos y los estribos se diseñaban con reglas de buena práctica y con criterios geométricos. Los constructores, desconocedores de las nociones de las fuerzas y sus líneas de acción, tuvieron que utilizar reglas en forma de proporciones o bien hacer modelos. Estos criterios empíricos no deberían ser tan absurdos pues, como indica Huerta (1996), la prueba es que muchas estructuras construidas en la época “pre-científica” -donde se incluyen todas las catedrales góticas-, fueron concebidas de esta forma.

Los secretos del oficio, guardados celosamente por los gremios y transmitidos oralmente, en un lenguaje hermético y oscurantista, empiezan a difundirse con los tratados de Arquitectura a partir del Renacimiento. Diego de Sagredo, Alberti o Palladio encabezan un listado de tratadistas que divulgan el pensamiento arquitectónico renacentista.

Pont Neuf, Toulouse. Imagen: © V. Yepes, 2017

Alberti[1] es el primer autor que establece, en 1452, las reglas para conseguir la estabilidad y constructibilidad de un puente de fábrica. Su tratado de arquitectura, De re aedificatoria, fue un compendio del saber constructivo de su época (Huerta, 2000:514). Sin embargo la edición en latín se publicó en 1485 –antes que la primera edición de Vitruvio[2]– y en España no se tradujo hasta 1582. La intuición mecánica de Alberti le sugiere que la forma del arco es la base para valorar su modo de trabajar: “El arco poco curvo es seguro para su propio peso, pero si se carga conviene componer muy bien su trasdós”, o bien: “El arco muy curvado será en sí mismo débil, cuanto más se carga menos problemas tendrá en su trasdós”. Cuanto más apuntado es un arco, es decir, cuanta mayor sensación visual da de no caer, más resistencia se le confiere.

Palladio[3], en su tratado I Quattro Libri dell’Architettura, de 1570, recoge el dimensionamiento de ejemplos de puentes romanos, dándolos como reglas prácticas.

Leonardo da Vinci[4] fue el primero que intentó estudiar los arcos desde el punto de vista mecánico, como muestran numerosos dibujos del Códice de Madrid, aunque sus análisis desconocían la ley del paralelogramo de fuerzas, fundamental en cualquier estudio estático, que no se resolvió hasta 1586 por Stevenin[5] (Heyman, 1999:92), si bien se formula en su forma actual en 1724 por Varignon[6] en su obra Nouvelle mécanicque.

Arco Leonardo
Códice de Leonardo da Vinci

La primera explicación científica del arco tuvo que esperar a Hooke[7], quien en 1676 apuntó que funcionaba justo al revés que un cable colgado, si bien no halló la ecuación matemática de dicha curva. En 1697 Gregory[8], de forma independiente a Hooke, formula la condición de estabilidad del arco cuando menciona la catenaria como directriz óptima. En 1695, La Hire[9] idealiza las dovelas en bolas de billar y observa que la forma resultante es como si engarzaran en un cable perfectamente elástico y sin peso, definiéndose su forma como antifunicular[10], lo contrario del cuelgue natural. Por tanto, el trazado de un arco ideal pasaría por conocer el estado de carga al que está sometido, donde el peso propio del arco es uno de los componentes principales, lo cual implica un proceso iterativo para establecer la forma definitiva.

Puente la Reina, sobre el río Arga. Camino de Santiago, Navarra. Imagen: © V. Yepes

Couplet, ofreció en 1730 una solución completa al problema, estableciendo el modo de colapso del arco por formación de un mecanismo de cuatro barras; pero fue Coulomb[11] en 1773 quien retomó el problema prácticamente de nuevo, dando una solución sintética a todos los modos de colapso posibles. A finales de la década de 1830, Moseley y Méry desarrollan casi simultáneamente el concepto de línea de empujes, que debe situarse dentro del espesor del arco. En 1833 Navier[12] enuncia la regla del tercio central, por donde debía circular la línea de presiones para evitar las tracciones. Poncelet[13], en 1835, desarrolla un método gráfico que ahorra considerablemente los tiempos de cálculo. Rankine[14] fue el primero en dar una aplicación práctica a la línea de empujes, siendo Barlow y Fuller los encargados de desarrollar la parte gráfica. En 1879 Castigliano[15]abre un nuevo enfoque analítico con planteamientos energéticos, sistematizándose a partir de ese momento el análisis de los arcos de fábrica. Ese mismo año Winkler propuso de forma explícita la aplicación de la teoría elástica para determinar la posición de la línea de empujes.

Sin embargo, el cálculo elástico, a pesar de su racionalidad, plantea sistemas de ecuaciones que son muy sensibles a las pequeñas variaciones en las condiciones de equilibrio (ver Huerta, 2005:78). Los procedimientos desarrollados por Heyman (1966) aplicando la teoría del análisis límite, validando el siguiente supuesto: si existe una configuración de equilibrio, es decir, una línea de empujes contenida dentro del arco, éste no se hundirá. Como consecuencia, la labor del calculista no es buscar el estado de equilibrio real del arco, sino encontrar estados razonables de equilibrio para la estructura estudiada (Heyman, 1967). Este ha sido el enfoque implícito en los diseños geométricos de los maestros de la antigüedad, tal y como indica Huerta (2005:81), justificando la validez de dichos planteamientos. Una recopilación del desarrollo histórico de la teoría del arco de fábrica puede seguirse en Huerta (1999, 2005).
Ejemplo de puente arco de madera. Cangas de Onís (Asturias). Fotografía V. Yepes.
Puente arco de madera. Cangas de Onís (Asturias). Imagen: © V. Yepes, 2010

[1] Leon Battista Alberti (1404-1472), fue arquitecto, matemático, humanista y poeta italiano.

[2] El texto fue descubierto en 1414 por Bracciolini. La edición princeps de la obra vitruviana fue publicada en latín por Giovani Suplicio da Verole en 1486, y en su epístola al cardenal Rafael Riario, se llama a esta obra divinum opus Vitruvi (Blánquez, 2007:XVII). En italiano no se imprimió hasta 1521 y en castellano hasta 1582.

[3] Andrea di Pietro della Góndola, más conocido como Andrea Palladio (1508-1580) fue un reconocido arquitecto italiano del Manierismo, que influyó notablemente en el Neoclasicismo. Una importante aportación a la ingeniería estructural fue la introducción del concepto de cercha o entramado.

[4] Leonardo di ser Piero da Vinci (1452-1519), nacido en Florencia, fue pintor y polímata, genial arquetipo del humanismo renacentista.

[5] Simón Stevenin (1548-1620), fue matemático holandés, ingeniero militar e hidráulico, entre otros oficios.

[6] Pierre Varignon (1654-1722), matemático francés precursor del cálculo infinitesimal, desarrolló la estática de estructuras.

[7] Robert Hooke, científico inglés (1635-1703). Formuló su famosa ley en la que describe cómo un cuerpo elástico se estira de forma proporcional a la fuerza que se ejerce sobre él. En esta época, para reclamar la paternidad de un descubrimiento, los hombres de ciencia enviaban anagramas a sus colegas para, después, cuando las circunstancias eran propicias, les hacían llegar o publicaban el mensaje que los anagramas escondías. Eso fue lo que ocurrió con la descripción que hizo Hooke en 1676 sobre el funcionamiento estructural del arco.

[8] David Gregory (1661-1708), profesor escocés de matemáticas y astronomía en la Universidad de Edimburgo.

[9] Philippe de La Hire, matemático, astrónomo y gnomonicista francés (1640-1719). La obra donde trata el arco es: Traité de mécanique: ou l’on explique tout ce qui est nécessaire dans la pratique des arts, & les propriétés des corps pesants lesquelles ont un plus grand usage dans la physique (1695).

[10] Del latín, funicŭlus, cuerda. Arenas (1996:10) define la antifunicularidad como una afinidad geométrica entre las ordenadas de la directriz de la bóveda y la ley de momentos flectores que produce el sistema de cargas sobre una viga virtual de la misma luz que el arco.

[11] Charles Agustin de Coulomb, físico e ingeniero militar francés (1736-1806), conocido por su famosa ley sobre atracción de cargas eléctricas. Elaboró en el campo estructural la actual teoría de la flexión y una primera teoría de la torsión (1787). También fueron importantes sus ideas sobre la deformación tangencial y el rozamiento.

[12] Claude Louis Marie Henri Navier, ingeniero y físico francés (1785-1836), trabajó en las matemáticas aplicadas a la ingeniería, la elasticidad y la mecánica de fluidos.

[13] Jean Victor Poncelet (1788-1867) fue un matemático e ingeniero francés que recuperó la geometría proyectiva.

[14] William John Macquorn Rankine, ingeniero y físico escocés (1820-1872), conocido también por sus trabajos en termodinámica.

[15] Carlo Alberto Castigliano, ingeniero italiano (1847-1884), elaboró nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos.

REFERENCIAS

HEYMAN, J. (1966). The stone skeleton. International Journal of Solids and Structures, 2: 249-279.

HEYMAN, J. (1967). On the shell solutions of masonry domes. International Journal of Solids and Structures, 3: 227-241.

HEYMAN, J. (1999). Teoría, historia y restauración de estructuras de fábrica. CEHOPU, 2ª edición, Madrid.

HUERTA, S. (1996). La teoría del arco de fábrica: desarrollo histórico. Obra Pública, 38:18-29.

HUERTA, S. (2000): Estética y geometría: el proyecto de puentes de fábrica en los siglos XV al XVII, en Graciani, A.; Huerta, S.; Rabasa, E.; Tabales, M. (eds.): Actas del Tercer Congreso Nacional de Historia de la Construcción. Instituto Juan de Herrera/CEHOPU, Sevilla, 513-526.

HUERTA, S. (2005). Mecánica de las bóvedas de fábrica: el enfoque del equilibrio. Informes de la Construcción, 56(496):73-89.

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