Coulomb – El blog de Víctor Yepes

Empuje de tierras, ¿mejor Coulomb o Rankine?

Figura 1. Coulomb y Rankine, autores de dos de los modelos clásicos de empuje de tierras.

El empuje de tierras sobre estructuras de contención ha sido un problema clásico en Geotecnia, pero que es complejo, pues existen numerosas incertidumbres asociadas al comportamiento de los distintos tipos de terreno. Tanto la dificultad en la determinación de las características mecánicas d

el terreno real como la complejidad en las hipótesis de cálculo han llevado a la utilización de simplificaciones útiles en una gran mayoría de casos. Las dos teorías clásicas en la estimación de los empujes del terreno se deben al francés Charles-Agustin de Coulomb (1736-1806) y al escocés William John Macquorn Rankine (1820-1872). Ambos métodos se sustentan en hipótesis diferentes y los resultados que proporcionan no coinciden, salvo en algún caso muy particular.

En cualquier libro de Geotecnia se puede comprobar cómo integrando las ecuaciones diferenciales de las condiciones de equilibrio interno de un elemento diferencial de un terreno horizontal, homogéneo, isótropo y con un comportamiento elástico, la tensión horizontal depende de la vertical. En el caso de que el terreno estuviera confinado lateralmente, con deformación lateral nula, la ley de Hooke proporciona una solución al problema, siendo la relación entre la tensión horizontal y la vertical constante. En cualquier caso, la condición de utilizar una ley de esfuerzo-deformación conveniente constituye el mayor obstáculo para obtener una solución exacta al problema.

Las presiones que soporta un muro o una pantalla reciben el nombre de empujes, que en el caso más general, será la suma del empuje hidrostático más el empuje efectivo ejercido por las partículas del terreno. Se define el coeficiente de empuje como la relación entre la tensión efectiva horizontal y la vertical, y en el caso de que no exista deformación lateral, se denomina coeficiente de empuje al reposo, K₀. De esta forma se podría calcular el empuje sobre un muro que no se deformara lo más mínimo. Sería el caso de un muro de sótano en edificación. Pero los muros no son infinitamente rígidos, se deforman, y dependiendo de si la deformación lateral es negativa (el terreno “se descomprime”) o positiva (el terreno “se comprime”), tendríamos los denominados empujes activos K_a, o pasivos K_p, (K_a<K₀<K_p). Para movilizar el empuje pasivo son necesarios movimientos del muro contra el terreno muy superiores a los necesarios para llegar a una situación de empuje activo. Cuando el empuje pasivo es favorable, debido a la imprecisión en la determinación de su valor real, por seguridad suele despreciarse su efecto o bien se aplica un coeficiente reductor (por ejemplo, de 1,5). Dejamos al lector investigar sobre este asunto en la literatura habitual.

Figura 2. Relación entre empuje del terreno y los movimientos necesarios para su desarrollo (Código Técnico de Edificación)

Lo que nos interesa en esta entrada es conocer las diferencias entre el método de Coulomb y el de Rankine e intentar interpretar cuándo sería mejor utilizar uno u otro método. Las fórmulas se pueden deducir de cualquier libro o manual de geotecnia. En ambos casos se puede generalizar la formulación al caso de terrenos cohesivos, presencia de nivel freático, cargas uniformes sobre el trasdós e inclinación del relleno tras el muro. Siendo σ’_v es la tensión efectiva vertical y c‘ la cohesión efectiva del terreno o relleno del trasdós, el empuje activo P_ase define como la resultante de los empujes unitarios σ’_a que puede determinarse mediante la siguiente fórmula:

y de forma análoga, el empuje pasivo P_p se define como la resultante de los empujes unitarios σ’_p que puede determinarse mediante:

La cohesión es un aspecto favorable para disminuir el empuje del terreno, pero si al final no se acaba desarrollando, nos deja del lado de la inseguridad; por tanto, como a veces es difícil estimar su efecto de forma adecuada, es habitual despreciarla para quedar del lado de la seguridad. Por tanto, se aconseja ser muy cuidadoso a la hora de considerar la cohesión.

Coulomb propuso un modelo para estimar los empujes del terreno planteando el equilibrio de una masa de terreno en forma de cuña al deformarse o moverse el muro. La rotura se produce a lo largo de dos planos, el formado por el interface suelo-muro y el plano de deslizamiento en el terreno. La cuña, formada por los dos planos, se comporta como un bloque rígido. De todas las cuñas posibles, una es la que produce el empuje activo máximo, y ese es el problema resuelto por este ingeniero francés en 1776. El método supone que las superficies de deslizamiento son planas, pero esta hipótesis es muy discutible en el caso del empuje pasivo. El problema queda resuelto para un muro cualquiera, con un trasdós que no necesita ser vertical, y un terreno con una determinada inclinación y con unas cargas sobre su superficie. Se supone conocido el peso específico del terreno, el ángulo de rozamiento interno y el ángulo de rozamiento muro-suelo. Es actualmente el método más empleado para el diseño de muros por métodos de equilibrio límite. Hoy día se emplea con gran efectividad en el cálculo de muros de gravedad, lo que permite considerables ahorros de material. Las fórmulas que siguen indican los coeficientes de empuje activo y pasivo, con las figuras que definen cada uno de los ángulos correspondientes:

El método de Rankine (1857) es más elegante desde el punto de vista matemático, explicando el empuje en términos de rotura por cortante del terreno. Se obtienen los empujes partiendo de un semiespacio infinito que se encuentra en “estado de Rankine“, es decir, un estado de equilibrio plástico y en donde el muro no produce ninguna perturbación. Se supone que el terreno es homogéneo e isótropo y en estado de equilibrio plástico, es decir, se acepta que toda la masa en el trasdós del muro está en situación de rotura y, por tanto, en cualquier punto el estado tensional pertenece a un círculo de Morh que es tangente a la línea de rotura de este suelo; además, como hipótesis adicional, no hay variación de tensiones en los puntos de cualquier plano paralelo a la superficie del semiespacio. Este modelo puede resultar un tanto conservador, pues solo considera el ángulo de rozamiento interno del terreno, olvidando el efecto favorable del rozamiento entre el muro y el terreno. Este método tiene muchas aplicaciones prácticas, por ejemplo, en muros ménsula, donde la suposición de Rankine no supone grandes desventajas y simplifica enormemente los cálculos. El cálculo de empujes sobre un muro con el modelo de Rankine se reduce a obtener las presiones efectivas a la profundidad correspondientes y aplicar las fórmulas correspondientes. De esta forma es muy sencillo calcular terrenos estratificados y considerar la existencia de una carga uniforme en coronación. Además, el método permite estimar si existen grietas de tracción y su profundidad en un terreno que sea cohesivo. Los coeficientes de empuje activo y pasivo para un terreno que forma un ángulo i con la horizontal teniendo en cuenta que la resultante forma un ángulo i con la horizontal, son los siguientes:

Aplicando el teorema de los estados correspondientes de Caquot, se puede generalizar la teoría de Rankine a suelos cohesivos: “Si a un suelo con cohesión que está en situación límite de rotura, simultáneamente le quitamos la cohesión y sumamos a todas las tensiones un término (c’ · cotg Φ’), el suelo sigue estando en la misma situación límite de rotura” (y se le aplican las hipótesis de los suelos sin cohesión).

Figura 3. Círculo de Mohr considerando suelos cohesivos

De las fórmulas deducidas para el empuje activo y pasivo, las fórmulas en ambos modelos coinciden únicamente en el caso de un trasdós vertical del muro, no hay rozamiento suelo-estructura y la superficie del terreno es horizontal. En este caso, los coeficientes de empuje activo y pasivo son los siguientes:

Resumiendo los aspectos básicos expuestos anteriormente, podríamos decir lo siguiente:

En caso de terrenos estratificados, la inclinación del plano de deslizamiento depende de cada terreno, con lo que el problema puede ser indeterminado si utilizamos el modelo de Coulomb. En este caso, Rankine es de más fácil formulación, que suele ser recomendable en el caso de muros ménsula.
El método de Coulomb no tiene en cuenta la presencia de grietas de tracción, por lo que con terrenos cohesivos el cálculo de la profundidad de estas grietas se debe hacer con Rankine.
Si no existe cohesión en el terreno ni adherencia entre muro y terreno, con la teoría de Coulomb se puede determinar que la resultante del empuje activo está situada, desde la base del muro, a un tercio de la altura del muro. Si no es así, entonces el método no proporciona directamente la posición del empuje.
El método de Rankine es difícil de aplicar con geometrías mínimamente complejas (trasdós quebrado, superficies del terreno en el trasdós no planas, cargar arbitrarias sobre éste último) y no es mucho más preciso que el método de Coulomb para estos casos.
El método de Coulomb no estima bien el empuje pasivo, pues la superficie real de rotura no es plana (se asemeja a una espiral logarítmica) y la distribución de empujes difiere bastante de la triangular, proporcionando valores sobredimensionados (del lado de la inseguridad). El método de Rankine es más conservador para el cálculo de empujes pasivos.
El método de Rankine no considera el rozamiento entre el muro y el terreno, lo cual es conservador. Es un aspecto importante en muros de gravedad, cuyos empujes activos se prefieren calcular con Coulomb.
En el método de Coulomb permite la consideración de sobrecargas en el trasdós de cualquier tipo (constante, puntual, triangular, etc.) siempre que sean indefinidas en el sentido longitudinal del muro, pues basta introducirlas en las ecuaciones de equilibrio. Con Rankine es sencillo si se trata de una sobrecarga constante.

REFERENCIAS:

GARCÍA VALCARCE, A. (dir.) (2003). Manual de edificación: mecánica de los terrenos y cimientos. CIE Inversiones Editoriales Dossat-2000 S.L. Madrid, 716 pp.
GONZÁLEZ CABALLERO, M. (2001). El terreno. Edicions UPC, Barcelona, 309 pp.
IZQUIERDO, F.A. (2001). Cuestiones de geotecnia y cimientos. Editorial Universidad Politécnica de Valencia, 227 pp.
LAMBE, T.W.; WHITMAN, R.V. (1996). Mecánica de suelos. Limusa, México, D.F., 582 pp.
MINISTERIO DE FOMENTO (2002). Guía de Cimentaciones. Dirección General de Carreteras.
MINISTERIO DE LA VIVIENDA (2006). Código Técnico de la Edificación
YEPES, V. (2020). Procedimientos de construcción de cimentaciones y estructuras de contención. Colección Manual de Referencia, 2ª edición. Editorial Universitat Politècnica de València, 480 pp. Ref. 328. ISBN: 978-84-9048-903-1.

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¿Cómo se han diseñado los arcos a lo largo de la historia?

Pequeño puente de fábrica sobre el río de Pola de Somiedo (Asturias). Fotografía V. Yepes. — Pequeño puente de fábrica sobre el río de Pola de Somiedo (Asturias). Imagen: © V. Yepes, 2010

Seguimos con este post un repaso histórico de los arcos. Como en su día se dijo, este es un “invento diabólico” que revolucionó en su momento el arte de construir. Vamos, pues a seguir con esta labor divulgadora, a sabiendas que nos dejamos muchas cosas por el camino.

Desde la Roma clásica al Renacimiento, los arcos y los estribos se diseñaban con reglas de buena práctica y con criterios geométricos. Los constructores, desconocedores de las nociones de las fuerzas y sus líneas de acción, tuvieron que utilizar reglas en forma de proporciones o bien hacer modelos. Estos criterios empíricos no deberían ser tan absurdos pues, como indica Huerta (1996:18), la prueba es que muchas estructuras construidas en la época “pre-científica” -donde se incluyen todas las catedrales góticas-, fueron concebidas de esta forma.

Los secretos del oficio, guardados celosamente por los gremios y transmitidos oralmente, en un lenguaje hermético y oscurantista, empiezan a difundirse con los tratados de Arquitectura a partir del Renacimiento. Diego de Sagredo, Alberti o Palladio encabezan un listado de tratadistas que divulgan el pensamiento arquitectónico renacentista.

Pont Neuf, Toulouse. Imagen: © V. Yepes, 2017

Alberti[1] es el primer autor que establece, en 1452, las reglas para conseguir la estabilidad y constructibilidad de un puente de fábrica. Su tratado de arquitectura, De re aedificatoria, fue un compendio del saber constructivo de su época (Huerta, 2000:514). Sin embargo la edición en latín se publicó en 1485 –antes que la primera edición de Vitruvio [2]– y en España no se tradujo hasta 1582. La intuición mecánica de Alberti le sugiere que la forma del arco es la base para valorar su modo de trabajar: “El arco poco curvo es seguro para su propio peso, pero si se carga conviene componer muy bien su trasdós”, o bien: “El arco muy curvado será en sí mismo débil, cuanto más se carga menos problemas tendrá en su trasdós”. Cuanto más apuntado es un arco, es decir, cuanta mayor sensación visual da de no caer, más resistencia se le confiere.

Palladio[3], en su tratado I Quattro Libri dell’Architettura, de 1570, recoge el dimensionamiento de ejemplos de puentes romanos, dándolos como reglas prácticas.

Leonardo da Vinci [4] fue el primero que intentó estudiar los arcos desde el punto de vista mecánico, como muestran numerosos dibujos del Códice de Madrid, aunque sus análisis desconocían la ley del paralelogramo de fuerzas, fundamental en cualquier estudio estático, que no se resolvió hasta 1586 por Stevenin[5] (Heyman, 1999:92), si bien se formula en su forma actual en 1724 por Varignon[6] en su obra Nouvelle mécanicque.

Arco Leonardo — Códice de Leonardo da Vinci

La primera explicación científica del arco tuvo que esperar a Hooke[7], quien en 1676 apuntó que funcionaba justo al revés que un cable colgado, si bien no halló la ecuación matemática de dicha curva. En 1697 Gregory[8], de forma independiente a Hooke, formula la condición de estabilidad del arco cuando menciona la catenaria como directriz óptima. En 1695, La Hire[9] idealiza las dovelas en bolas de billar y observa que la forma resultante es como si engarzaran en un cable perfectamente elástico y sin peso, definiéndose su forma como antifunicular[10], lo contrario del cuelgue natural. Por tanto, el trazado de un arco ideal pasaría por conocer el estado de carga al que está sometido, donde el peso propio del arco es uno de los componentes principales, lo cual implica un proceso iterativo para establecer la forma definitiva.

Puente la Reina, sobre el río Arga. Camino de Santiago, Navarra. Imagen: © V. Yepes

Couplet, ofreció en 1730 una solución completa al problema, estableciendo el modo de colapso del arco por formación de un mecanismo de cuatro barras; pero fue Coulomb [11] en 1773 quien retomó el problema prácticamente de nuevo, dando una solución sintética a todos los modos de colapso posibles. A finales de la década de 1830, Moseley y Méry desarrollan casi simultáneamente el concepto de línea de empujes, que debe situarse dentro del espesor del arco. En 1833 Navier [12] enuncia la regla del tercio central, por donde debía circular la línea de presiones para evitar las tracciones. Poncelet [13], en 1835, desarrolla un método gráfico que ahorra considerablemente los tiempos de cálculo. Rankine [14] fue el primero en dar una aplicación práctica a la línea de empujes, siendo Barlow y Fuller los encargados de desarrollar la parte gráfica. En 1879 Castigliano [15]abre un nuevo enfoque analítico con planteamientos energéticos, sistematizándose a partir de ese momento el análisis de los arcos de fábrica. Ese mismo año Winkler propuso de forma explícita la aplicación de la teoría elástica para determinar la posición de la línea de empujes.

Sin embargo, el cálculo elástico, a pesar de su racionalidad, plantea sistemas de ecuaciones que son muy sensibles a las pequeñas variaciones en las condiciones de equilibrio (ver Huerta, 2005:78). Los procedimientos desarrollados por Heyman (1966) aplicando la teoría del análisis límite, validando el siguiente supuesto: si existe una configuración de equilibrio, es decir, una línea de empujes contenida dentro del arco, éste no se hundirá. Como consecuencia, la labor del calculista no es buscar el estado de equilibrio real del arco, sino encontrar estados razonables de equilibrio para la estructura estudiada (Heyman, 1967). Este ha sido el enfoque implícito en los diseños geométricos de los maestros de la antigüedad, tal y como indica Huerta (2005:81), justificando la validez de dichos planteamientos. Una recopilación del desarrollo histórico de la teoría del arco de fábrica puede seguirse en Huerta (1999, 2005).

Ejemplo de puente arco de madera. Cangas de Onís (Asturias). Fotografía V. Yepes. — Puente arco de madera. Cangas de Onís (Asturias). Imagen: © V. Yepes, 2010

[1] Leon Battista Alberti (1404-1472), fue arquitecto, matemático, humanista y poeta italiano.

[2] El texto fue descubierto en 1414 por Bracciolini. La edición princeps de la obra vitruviana fue publicada en latín por Giovani Suplicio da Verole en 1486, y en su epístola al cardenal Rafael Riario, se llama a esta obra divinum opus Vitruvi (Blánquez, 2007:XVII). En italiano no se imprimió hasta 1521 y en castellano hasta 1582.

[3] Andrea di Pietro della Góndola, más conocido como Andrea Palladio (1508-1580) fue un reconocido arquitecto italiano del Manierismo, que influyó notablemente en el Neoclasicismo. Una importante aportación a la ingeniería estructural fue la introducción del concepto de cercha o entramado.

[4] Leonardo di ser Piero da Vinci (1452-1519), nacido en Florencia, fue pintor y polímata, genial arquetipo del humanismo renacentista.

[5] Simón Stevenin (1548-1620), fue matemático holandés, ingeniero militar e hidráulico, entre otros oficios.

[6] Pierre Varignon (1654-1722), matemático francés precursor del cálculo infinitesimal, desarrolló la estática de estructuras.

[7] Robert Hooke, científico inglés (1635-1703). Formuló su famosa ley en la que describe cómo un cuerpo elástico se estira de forma proporcional a la fuerza que se ejerce sobre él. En esta época, para reclamar la paternidad de un descubrimiento, los hombres de ciencia enviaban anagramas a sus colegas para, después, cuando las circunstancias eran propicias, les hacían llegar o publicaban el mensaje que los anagramas escondías. Eso fue lo que ocurrió con la descripción que hizo Hooke en 1676 sobre el funcionamiento estructural del arco.

[8] David Gregory (1661-1708), profesor escocés de matemáticas y astronomía en la Universidad de Edimburgo.

[9] Philippe de La Hire, matemático, astrónomo y gnomonicista francés (1640-1719). La obra donde trata el arco es: Traité de mécanique: ou l’on explique tout ce qui est nécessaire dans la pratique des arts, & les propriétés des corps pesants lesquelles ont un plus grand usage dans la physique (1695).

[10] Del latín, funicŭlus, cuerda. Arenas (1996:10) define la antifunicularidad como una afinidad geométrica entre las ordenadas de la directriz de la bóveda y la ley de momentos flectores que produce el sistema de cargas sobre una viga virtual de la misma luz que el arco.

[11] Charles Agustin de Coulomb, físico e ingeniero militar francés (1736-1806), conocido por su famosa ley sobre atracción de cargas eléctricas. Elaboró en el campo estructural la actual teoría de la flexión y una primera teoría de la torsión (1787). También fueron importantes sus ideas sobre la deformación tangencial y el rozamiento.

[12] Claude Louis Marie Henri Navier, ingeniero y físico francés (1785-1836), trabajó en las matemáticas aplicadas a la ingeniería, la elasticidad y la mecánica de fluidos.

[13] Jean Victor Poncelet (1788-1867) fue un matemático e ingeniero francés que recuperó la geometría proyectiva.

[14] William John Macquorn Rankine, ingeniero y físico escocés (1820-1872), conocido también por sus trabajos en termodinámica.

[15] Carlo Alberto Castigliano, ingeniero italiano (1847-1884), elaboró nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos.

REFERENCIAS

HEYMAN, J. (1966). The stone skeleton. International Journal of Solids and Structures, 2: 249-279.

HEYMAN, J. (1967). On the shell solutions of masonry domes. International Journal of Solids and Structures, 3: 227-241.

HEYMAN, J. (1999). Teoría, historia y restauración de estructuras de fábrica. CEHOPU, 2ª edición, Madrid.

HUERTA, S. (1996). La teoría del arco de fábrica: desarrollo histórico. Obra Pública, 38:18-29.

HUERTA, S. (2000): Estética y geometría: el proyecto de puentes de fábrica en los siglos XV al XVII, en Graciani, A.; Huerta, S.; Rabasa, E.; Tabales, M. (eds.): Actas del Tercer Congreso Nacional de Historia de la Construcción. Instituto Juan de Herrera/CEHOPU, Sevilla, 513-526.

HUERTA, S. (2005). Mecánica de las bóvedas de fábrica: el enfoque del equilibrio. Informes de la Construcción, 56(496):73-89.

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Laboratorio virtual: empuje de tierras sobre un muro según Coulomb

El ingeniero militar francés Charles-Augustin de Coulomb (1776) fue el primero en estudiar el problema de las presiones laterales del terreno y estructuras de retención. Este autor introduce una simplificación importante para calcular el empuje: se limitó a usar la teoría de equilibrio que considera que una cuña de terreno en rotura imitada por el trasdós y por un plano que pasa por el pie del muro como un cuerpo en movimiento para determinar la presión lateral limitante. La presión limitante horizontal en fallo en extensión o compresión se determinan a partir de K_a y K_p respectivamente. Se supone que la superficie de deslizamiento es plana, el drenaje del muro funciona bien y que no hay presiones intersticiales en el terreno. Aunque con simplificaciones, esta teoría permite calcular problemas en los cuales el paramento no es vertical y la superficie de relleno tiene cualquier forma.

$K_a = frac{ cos ^2 left( phi - theta right)}{cos ^2 theta cos left( delta + theta right) left( 1 + sqrt{ frac{ sin left( delta + phi right) sin left( phi - beta right)}{cos left( delta + theta right) cos left( beta - theta right)}} right) ^2}$

$K_p = frac{ cos ^2 left( phi + theta right)}{cos ^2 theta cos left( delta - theta right) left( 1 - sqrt{ frac{ sin left( delta + phi right) sin left( phi + beta right)}{cos left( delta - theta right) cos left( beta - theta right)}} right) ^2}$

Para que se pueda estudiar de forma cualitativa el efecto del empuje, se aporta un Laboratorio Virtual. El objetivo de este objeto de aprendizaje consiste en entender cómo varía el empuje activo horizontal sobre un muro aplicando la teoría de Coulomb. Éste coeficiente varía en función del ángulo de rozamiento interno del terreno, del ángulo de rozamiento de terreno y muro, y de la inclinación del muro. Supondremos un relleno horizontal sobre el muro.

Enlace al laboratorio virtual: https://laboratoriosvirtuales.upv.es/eslabon/EmpujeHorizontal/

Referencias:

Coulomb C.A., (1776). Essai sur une application des regles des maximis et minimis a quelques problemes de statique relatifs a l’architecture. Memoires de l’Academie Royale pres Divers Savants, Vol. 7

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