Asientos de cargas rectangulares en el semiespacio de Boussinesq

Joseph Valentin Boussinesq. https://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Boussinesq

El matemático francés Joseph Valentin Boussinesq (1842-1929) desarrolló en 1885 una expresión matemática para obtener el incremento de esfuerzo en una masa semi-infinita de suelo debido a la aplicación de una carga puntual en su superficie. Dicha expresión se puede integrar para obtener soluciones para áreas cargadas. Para ello se supone que dicho semi-espacio es infinitamente grande, siendo un medio homogéneo, elástico lineal e isótropo.

Sabiendo que el terreno dista de ser un semiespacio de Boussinesq, se puede aplicar la Teoría de la Elasticidad para estimar los asientos producidos por una carga rectangular como pudiera ser la de una losa de cimentación o la de una zapata.  Estos asientos pueden producirse instantáneamente o bien con el paso del tiempo, los llamados asientos de consolidación. El modelo elástico proporciona soluciones para una gran variedad de problemas, y si bien el comportamiento del terreno no es generalmente elástico, hoy día se dispone de una amplia experiencia respecto al uso y limitaciones.

Una de las grandes ventajas que presenta la hipótesis de que el terreno es elástico lineal es la validez del principio de superposición, cuyo enunciado dice que “si se tienen dos estados de tensiones y deformaciones correspondientes, al estado tensional suma le corresponde el estado de deformaciones suma“.

Para el cálculo de las deformaciones con la teoría elástica es necesario conocer el módulo de elasticidad o módulo de Young, E, así como el coeficiente de Poisson, γ. Sin embargo, según el Principio de Terzaghi, “las deformaciones en suelos se deben a la variación de las tensiones efectivas“, por lo que las ecuaciones de Hooke deben escribirse en términos efectivos. Es decir, se deben utilizar E‘ y  γ‘, obtenidos en condiciones drenadas del suelo, es decir, a largo plazo. Este método sería válido para cargas de servicio o de trabajo, alejadas de la carga de rotura (factor de seguridad del orden de 3), que probablemente generen asientos elásticos. El método elástico será tanto más aceptable cuanto más se asemeje el comportamiento del suelo al del sólido lineal-elástico, como es el caso de los suelos granulares o las arcillas fuertemente sobreconsolidadas, bajo presiones normales de cimentación.

En las Tablas D.23 y D.24 del Código Técnico de Edificación se recogen valores orientativos de los módulos de elasticidad E‘ y del coeficiente de Poisson γ‘. En algunos casos no es posible trabajar con tensiones efectivas, por lo que en Geotecnia se hace en totales, utilizando unos parámetros elásticos en totales o aparentes.

Como un suelo saturado responde a corto plazo sin variar su volumen, ello supone un coeficiente de Poisson de 0,5 trabajando en tensiones totales. En ese caso se utiliza un módulo de elasticidad Eu denominado “módulo de elasticidad sin drenaje“. Este módulo es de difícil determinación, aunque se suele considerar  Eu  = 500·Cu, pero con errores del orden del 50%. Skempton recomienda adoptar como Eu el módulo secante correspondiente a una tensión aplicada igual al 65% de la tensión de rotura (coeficiente de seguridad F=3 en cimentaciones superficiales). Como los esfuerzos cortantes son iguales en tensiones totales o en efectivas, los módulos de rigidez G coincidirán, lo cual permite deducir Eu conocidos E‘ y γ‘ con la siguiente expresión:

Llegado a este punto, ¿cómo calculamos las deformaciones verticales al aplicar una carga sobre el terreno? Llamaremos “asientos” a dicha deformación vertical, distinguiéndose los “asientos instantáneos” los que ocurren a corto plazo, es decir, en condiciones sin drenaje. A ellos habría que sumar los asientos a largo plazo, en condiciones de drenaje, que son los “asientos de consolidación“. Por tanto, los asientos totales se calcularán con E‘ y γ‘ (condiciones drenadas, a largo plazo) y los asientos instantáneos con Eu  y con γ = 0,5. La diferencia serán los asientos diferidos (semejantes a los de consolidación). Veamos ahora los cálculos.

Para cargas flexibles con forma circular, cuadrada o rectangular, el asiento bajo el centro de las mismas se obtiene con la siguiente expresión:

En la que B es el lado menor del área cargada y IS es un coeficiente de influencia que vale IS =1 en cargas circulares y IS =1,122 en cargas cuadradas. Para cargas rectangulares se puede obtener el asiento en una esquina con la fórmula anterior pero adoptando un coeficiente de influencia que viene dado por esta expresión, donde n=L/B:

El Cuadro 1 y la Figura 1 nos dan valores para este coeficiente de influencia.

Cuadro. Valores del coeficiente de influencia en función de L/B

 

Figura 1. Coeficiente de influencia en función de L/B

Aplicando el principio de superposición que permite la teoría elástica, el lector puede comprobar de forma sencilla que el asiento en el centro es el doble que en una de sus esquinas (Figura 2).

Figura 2. Principio de superposición para calcular el asiento en el centro de una carga rectangular por suma de cuatro asientos de cargas rectangulares en su esquina

Por último, en el caso de una carga rígida, como sería el caso de muchas zapatas, se considera que el asiento es uniforme e igual, aproximadamente, a 0,8 veces el asiento que se obtendría en el centro si fuese una zapata flexible. Es fácil comprobar que dicho asiento valdría.

Como recordatorio, habría que decir que la carga que se aplica en superficie en las fórmulas anteriores se debería cambiar por la carga o tensión neta en el caso de que la carga se aplique tras una excavación previa. Es decir, la carga a utilizar en las fórmulas es la diferencia entre la tensión aplicada en superficie y la existente en el terreno a la profundidad del plano de cimentación. Dicho de otra forma, hay que quitar de la carga total aplicada la correspondiente al peso del terreno excavado.

Se deja al lector inquieto calcular el asiento en el centro de una zapata rectangular de 2,50 m x 5,00 m que se cimenta sobre unas arcillas con un peso específico saturado de 22 kN/m3, con un módulo de elasticidad efectivo de 92,00 MPa y un coeficiente de Poisson efectivo de 0,5. La zapata se apoya a 2,00 m de profundidad y el peso propio que se le transmite es de 100 kN/m2.

Referencias:

  • DAS, B. (2005). Fundamental of Geotechnical Engineering – 2nd ed, Technomic Publishing Co.
  • GONZÁLEZ CABALLERO, M. (2001). El terreno. Edicions UPC, 309 pp.
  • GONZÁLEZ DE VALLEJO, L.I. et al. (2004). Ingeniería Geológica. Pearson, Prentice Hall, Madrid.
  • IZQUIERDO, F.A. (2001). Cuestiones de geotecnia y cimientos. Editorial Universidad Politécnica de Valencia, 227 pp.
  • YEPES, V. (2016). Procedimientos de construcción de cimentaciones y estructuras de contención. Colección Manual de Referencia. Editorial Universitat Politècnica de València, 202 pp. Ref. 328. ISBN: 978-84-9048-457-9.

 

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¿Cómo se distribuyen las presiones en el suelo al paso de un compactador?

Figura 1. Compactador de neumáticos

Un aspecto de gran interés práctico en la compactación es conocer cómo se distribuyen las presiones bajo la superficie por la que pasa el compactador. Si en vez de considerar las tensiones y deformaciones uniformemente distribuidas por todo el material, tal y como hemos visto en los ensayos descritos en entradas anteriores, nos centramos en lo que ocurre bajo la superficie donde se aplica la carga, comprobaremos que los efectos de la carga únicamente se soportan por una porción del suelo bajo ella.

Boussinesq desarrolló, para un suelo homogéneo, isótropo y elástico, la distribución de las tensiones bajo placas cargadas (en 1885 obtuvo una solución para los esfuerzos debidos a una carga aplicada en dirección normal a la superficie de un semiespacio elástico semi-infinito). Se forma un bulbo de presiones bajo la placa, de forma que la presión a determinada profundidad es proporcional a la presión de contacto (Figura 2).

Figura 2. Distribuciones de presiones según Boussinesq

Asimismo, la forma y el tamaño de la placa influyen en el bulbo de presiones. A igualdad de carga y superficie, una placa cuadrada produce mayores presiones a medida que aumenta la profundidad. También se observa que, para una presión de contacto dada, cuanto más ancha es la placa de carga, mayor es la profundidad alcanzada para la misma compresión. Ello explica que un compactador de neumáticos (Figura 1) -cuya huella se aproxima a un círculo- es más eficaz en cuanto a penetración que un compactador de cilindro liso (Figura 3), estando cargados por igual, y a igual superficie total de contacto.

Figura 3. Compactador de rodillo liso

Tanto las tensiones como las deformaciones disminuyen rápidamente con la profundidad de la tongada a compactar. Así en un neumático de una anchura D, con una presión de contacto con la superficie de PC, transmite a 0,5 D solo 0,6 PC, a una distancia D transmite 0,3 PC y al llegar a 2D únicamente nos llega 0,09 PC. El tamaño del bulbo nos indica qué partes de la masa del suelo serán afectadas por la carga aplicada de forma significativa, tanto en profundidad como en extensión lateral. La Tabla 1 proporciona los valores aproximados de la profundidad y ancho de los bulbos de presión de 0,2q y 0,1q.

Tabla 1
Tabla 1. Bulbos de presión bajo el terreno

Como existe una presión por debajo de la cual las deformaciones dejan de ser permanentes (se puede tomar como idea unos 0,2 MPa), por ser de tipo elástico, es fácil comprender que la presión en superficie, al ir disminuyendo, encontrará una línea divisoria por debajo de la cual no es posible compactar el terreno.

Debido a que para cada carga, existe una deformación remanente límite, independiente del número de ciclos, se obtendrá una profundidad límite de capa para cada compactador y para cada peso unitario especificado. Se puede calcular dicho espesor límite interpolando entre varios valores de deformación límite y grosor de capa, para un compactador prefijado. Las relaciones entre los pesos unitarios iniciales, especificada y las deformaciones son las descritas mediante la siguiente ecuación, basada en que el peso unitario de cada capa crece en la misma relación que disminuye la altura:donde:

ε = deformación unitaria

δ = deflexión

h = grosor de la tongada

γ0 = peso unitario inicial

γesp = peso unitario especificado

Referencia:

YEPES, V. (2014). Equipos de compactación superficial. Apuntes de la Universitat Politècnica de València, Ref. 187. Valencia, 113 pp.

 

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