Paradoja de Zenón en la parsimonia del asiento de los suelos saturados

Figura 1. Inclinación de la torre de Pisa

Una de las paradojas que planteó el filósofo Zenón de Elea es que si para ir a un lugar recorres primero la mitad de la distancia, luego la mitad de la distancia que te queda por recorrer, y así hasta el infinito, nunca llegarás a tu destino, aunque estés toda la vida andando. Esta paradoja se solucionó matemáticamente en el siglo XIX al aceptar que la suma de 1/2 + 1/4 + … suman 1. Pues bien, un terreno saturado al que sometemos a una carga va a asentar de forma indefinida, pero no superará un valor tope determinado. Veamos esto con mayor detalle.

En un artículo anterior vimos hablamos del Principio de Terzaghi, por el cual un terreno se deforma solo cuando existe un cambio en sus tensiones efectivas. Cuando se carga un terreno saturado, éste tiene la costumbre provocar asientos que se incrementan con el tiempo, siempre que sea posible el drenaje. Esto plantea la pregunta de si los asientos crecerán de forma indefinida con el tiempo. Afortunadamente, el asiento tiende asintóticamente a una magnitud última a la cual se llegará, eso sí, en tiempo infinito.

Pero empecemos por el principio. En presencia de un sólido homogéneo, isótropo y linealmente elástico, la teoría de la elasticidad nos permite conocer perfectamente la deformación que tendrá ante un incremento de cargas. Para ello basta conocer el módulo de elasticidad E y el coeficiente de Poisson ν. Es más, si estamos ante este tipo de terreno y conocemos las ecuaciones de Hooke en términos efectivos (es decir, conocemos E‘ y  γ’, obtenidos en suelo drenado, a largo plazo), entonces tenemos herramientas para averiguar la deformación del terreno, tal y como vimos en el artículo que donde hablábamos de los asientos de cargas rectangulares en el semiespacio de Boussinesq. Este método sería válido para cargas de servicio o de trabajo, alejadas de la carga de rotura (factor de seguridad del orden de 3), que probablemente generen asientos elásticos. El método elástico será tanto más aceptable cuanto más se asemeje el comportamiento del suelo al del sólido lineal-elástico, como es el caso de los suelos granulares o las arcillas fuertemente sobreconsolidadas, bajo presiones normales de cimentación.

Sin embargo, no vamos a tener tanta suerte. El comportamiento del suelo es más complejo. De hecho, la deformación ocurrirá, tal y como se ha comentado anteriormente, cuando las presiones efectivas empiecen a cambiar. Y eso tendrá lugar si se permiten disipar las presiones intersticiales del terreno. Por tanto, las deformaciones van a depender, entre otros factores, de la permeabilidad. Terrenos altamente permeables, como gravas o arenas, van a deformar rápidamente, puesto que el agua drenará con mucha facilidad. Pero terrenos más impermeables como las arcillas, el proceso se dilatará en el tiempo. Es el fenómeno conocido como consolidación.

Por tanto, ante un terreno saturado, tenemos tres tipos de consolidación. La consolidación inicial la provoca un aumento de la presión total, que provoca un cambio de volumen debido a efectos como la disolución de las burbujas de aire, el cierre de fisuras o la reordenación de las partículas, entre otras posibles causas. La consolidación primaria, es provocada por el aumento de la presión efectiva como consecuencia de la disipación de las sobrepresiones intersticiales. Por último, la consolidación secundaria se produce a tensión efectiva constante, es decir, una vez disipada la sobrepresión intersticial y se debe a factores como la fluencia por desplazamientos y reorientaciones de partículas, o bien a la descomposición de la materia orgánica del suelo, entre otras posibles causas.

Figura 2. Curva de consolidación de un suelo saturado.

Para determinar tanto la magnitud de la deformación de un suelo al aumentar la tensión efectiva a la que está sometido (curva edométrica), como la velocidad a la que ocurre el asiento de consolidación (curva de consolidación), se utiliza el ensayo edométrico. De este ensayo y sus características hablaremos en otros artículos.

Pero aquí lo que queremos es ver cómo evolucionan los asiento con el tiempo durante el proceso de consolidación. En un proceso unidimensional, la ecuación que gobierna dicho proceso es la siguiente:

donde Cv es el denominado coeficiente de consolidación vertical, que depende del nivel de tensiones existente y cuyas unidades son [L2]/[T]. Este coeficiente en una arcilla puede deducirse de un ensayo edométrico de una muestra inalterada. Su valor tipo oscila entre 0,4 x 10-4  y 3 x 10-3 cm2/s, y los valores deducidos in situ oscilan entre 0,7 x 10-4  y 250 cm2/s (González Caballero, 2001).

Si definimos como grado de consolidación U la relación entre el asiento experimentado en un instante por el suelo respecto al asiento total, podemos utilizar U como variable auxiliar adimensional para resolver la ecuación diferencial anterior.

Si llamamos factor de tiempo a Tv, éste se encuentra relacionado con U. La solución simplificada de la ecuación diferencial, suponiendo que el incremento de presión total es uniforme o lineal en el caso del doble drenaje, nos lleva a dos ecuaciones sencillas, que son las siguientes:

Estas expresiones las hemos dibujado en la Figura 3, donde se relaciona U con Tv. Se puede observar que para el grado de consolidación del 100%, el factor de tiempo se hace infinito. No obstante, se puede considerar que un factor de tiempo Tv = 2 corresponde prácticamente al final de la consolidación primaria.

Figura 3. Factor de tiempo en función del grado de consolidación

Además, el coeficiente de consolidación vertical Cv está relacionado con el factor de tiempo Tv, con la distancia libre de drenaje d y con el tiempo t a través de la siguiente expresión:

Por tanto, se puede saber el tiempo que tardará en asentar un suelo saturado para alcanzar un grado de consolidación determinado conociendo la distancia libre de drenaje y el coeficiente de consolidación vertical. Los cálculos pueden realizarse rápidamente utilizando la gráfica de la Figura 4. Se ha dibujado el eje vertical en escala logarítmica. Cada función indica una longitud libre de drenaje distinta.

Figura 4. Relación entre el producto del coeficiente de consolidación y el tiempo con el grado de consolidación y la distancia libre de drenaje.

Vamos a hacer un cálculo aproximado utilizando la Figura 4. Si suponemos una arcilla con un coeficiente de consolidación Cv = 1,0 m2/año, en el periodo de 1 año, con una longitud de drenaje de 1 m, se habrá superado más del 90% del asiento previsto, pero si la longitud de drenaje es de 2 m, no llegaremos al 60% del asiento.

Se deja al lector curioso la demostración de que si la longitud de drenaje la dividimos por n, entonces el tiempo que se tardará en alcanzar el mismo grado de consolidación se divide por n2 . Así, por ejemplo, una capa de arcillas dispuesta entre dos capas de material granular tardará en alcanzar un mismo asiento en la cuarta parte del tiempo que si dicha capa estuviese dispuesta entre una capa granular y otra impermeable.

Referencias:

  • DAS, B. (2005). Fundamental of Geotechnical Engineering – 2nd ed, Technomic Publishing Co.
  • GONZÁLEZ CABALLERO, M. (2001). El terreno. Edicions UPC, 309 pp.
  • GONZÁLEZ DE VALLEJO, L.I. et al. (2004). Ingeniería Geológica. Pearson, Prentice Hall, Madrid.
  • IZQUIERDO, F.A. (2001). Cuestiones de geotecnia y cimientos. Editorial Universidad Politécnica de Valencia, 227 pp.
  • YEPES, V. (2016). Procedimientos de construcción de cimentaciones y estructuras de contención. Colección Manual de Referencia. Editorial Universitat Politècnica de València, 326 pp. Ref. 328. ISBN: 978-84-9048-457-9.

 

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Asientos de cargas rectangulares en el semiespacio de Boussinesq

Joseph Valentin Boussinesq. https://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Boussinesq

El matemático francés Joseph Valentin Boussinesq (1842-1929) desarrolló en 1885 una expresión matemática para obtener el incremento de esfuerzo en una masa semi-infinita de suelo debido a la aplicación de una carga puntual en su superficie. Dicha expresión se puede integrar para obtener soluciones para áreas cargadas. Para ello se supone que dicho semi-espacio es infinitamente grande, siendo un medio homogéneo, elástico lineal e isótropo.

Sabiendo que el terreno dista de ser un semiespacio de Boussinesq, se puede aplicar la Teoría de la Elasticidad para estimar los asientos producidos por una carga rectangular como pudiera ser la de una losa de cimentación o la de una zapata.  Estos asientos pueden producirse instantáneamente o bien con el paso del tiempo, los llamados asientos de consolidación. El modelo elástico proporciona soluciones para una gran variedad de problemas, y si bien el comportamiento del terreno no es generalmente elástico, hoy día se dispone de una amplia experiencia respecto al uso y limitaciones.

Una de las grandes ventajas que presenta la hipótesis de que el terreno es elástico lineal es la validez del principio de superposición, cuyo enunciado dice que “si se tienen dos estados de tensiones y deformaciones correspondientes, al estado tensional suma le corresponde el estado de deformaciones suma“.

Para el cálculo de las deformaciones con la teoría elástica es necesario conocer el módulo de elasticidad o módulo de Young, E, así como el coeficiente de Poisson, γ. Sin embargo, según el Principio de Terzaghi, “las deformaciones en suelos se deben a la variación de las tensiones efectivas“, por lo que las ecuaciones de Hooke deben escribirse en términos efectivos. Es decir, se deben utilizar E‘ y  γ‘, obtenidos en condiciones drenadas del suelo, es decir, a largo plazo. Este método sería válido para cargas de servicio o de trabajo, alejadas de la carga de rotura (factor de seguridad del orden de 3), que probablemente generen asientos elásticos. El método elástico será tanto más aceptable cuanto más se asemeje el comportamiento del suelo al del sólido lineal-elástico, como es el caso de los suelos granulares o las arcillas fuertemente sobreconsolidadas, bajo presiones normales de cimentación.

En las Tablas D.23 y D.24 del Código Técnico de Edificación se recogen valores orientativos de los módulos de elasticidad E‘ y del coeficiente de Poisson γ‘. En algunos casos no es posible trabajar con tensiones efectivas, por lo que en Geotecnia se hace en totales, utilizando unos parámetros elásticos en totales o aparentes.

Como un suelo saturado responde a corto plazo sin variar su volumen, ello supone un coeficiente de Poisson de 0,5 trabajando en tensiones totales. En ese caso se utiliza un módulo de elasticidad Eu denominado “módulo de elasticidad sin drenaje“. Este módulo es de difícil determinación, aunque se suele considerar  Eu  = 500·Cu, pero con errores del orden del 50%. Skempton recomienda adoptar como Eu el módulo secante correspondiente a una tensión aplicada igual al 65% de la tensión de rotura (coeficiente de seguridad F=3 en cimentaciones superficiales). Como los esfuerzos cortantes son iguales en tensiones totales o en efectivas, los módulos de rigidez G coincidirán, lo cual permite deducir Eu conocidos E‘ y γ‘ con la siguiente expresión:

Llegado a este punto, ¿cómo calculamos las deformaciones verticales al aplicar una carga sobre el terreno? Llamaremos “asientos” a dicha deformación vertical, distinguiéndose los “asientos instantáneos” los que ocurren a corto plazo, es decir, en condiciones sin drenaje. A ellos habría que sumar los asientos a largo plazo, en condiciones de drenaje, que son los “asientos de consolidación“. Por tanto, los asientos totales se calcularán con E‘ y γ‘ (condiciones drenadas, a largo plazo) y los asientos instantáneos con Eu  y con γ = 0,5. La diferencia serán los asientos diferidos (semejantes a los de consolidación). Veamos ahora los cálculos.

Para cargas flexibles con forma circular, cuadrada o rectangular, el asiento bajo el centro de las mismas se obtiene con la siguiente expresión:

En la que B es el lado menor del área cargada y IS es un coeficiente de influencia que vale IS =1 en cargas circulares y IS =1,122 en cargas cuadradas. Para cargas rectangulares se puede obtener el asiento en una esquina con la fórmula anterior pero adoptando un coeficiente de influencia que viene dado por esta expresión, donde n=L/B:

El Cuadro 1 y la Figura 1 nos dan valores para este coeficiente de influencia.

Cuadro. Valores del coeficiente de influencia en función de L/B

 

Figura 1. Coeficiente de influencia en función de L/B

Aplicando el principio de superposición que permite la teoría elástica, el lector puede comprobar de forma sencilla que el asiento en el centro es el doble que en una de sus esquinas (Figura 2).

Figura 2. Principio de superposición para calcular el asiento en el centro de una carga rectangular por suma de cuatro asientos de cargas rectangulares en su esquina

Por último, en el caso de una carga rígida, como sería el caso de muchas zapatas, se considera que el asiento es uniforme e igual, aproximadamente, a 0,8 veces el asiento que se obtendría en el centro si fuese una zapata flexible. Es fácil comprobar que dicho asiento valdría.

Como recordatorio, habría que decir que la carga que se aplica en superficie en las fórmulas anteriores se debería cambiar por la carga o tensión neta en el caso de que la carga se aplique tras una excavación previa. Es decir, la carga a utilizar en las fórmulas es la diferencia entre la tensión aplicada en superficie y la existente en el terreno a la profundidad del plano de cimentación. Dicho de otra forma, hay que quitar de la carga total aplicada la correspondiente al peso del terreno excavado.

Se deja al lector inquieto calcular el asiento en el centro de una zapata rectangular de 2,50 m x 5,00 m que se cimenta sobre unas arcillas con un peso específico saturado de 22 kN/m3, con un módulo de elasticidad efectivo de 92,00 MPa y un coeficiente de Poisson efectivo de 0,5. La zapata se apoya a 2,00 m de profundidad y el peso propio que se le transmite es de 100 kN/m2.

Referencias:

  • DAS, B. (2005). Fundamental of Geotechnical Engineering – 2nd ed, Technomic Publishing Co.
  • GONZÁLEZ CABALLERO, M. (2001). El terreno. Edicions UPC, 309 pp.
  • GONZÁLEZ DE VALLEJO, L.I. et al. (2004). Ingeniería Geológica. Pearson, Prentice Hall, Madrid.
  • IZQUIERDO, F.A. (2001). Cuestiones de geotecnia y cimientos. Editorial Universidad Politécnica de Valencia, 227 pp.
  • YEPES, V. (2016). Procedimientos de construcción de cimentaciones y estructuras de contención. Colección Manual de Referencia. Editorial Universitat Politècnica de València, 202 pp. Ref. 328. ISBN: 978-84-9048-457-9.

 

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