Día: 30 de octubre de 2026

Objetivo y planteamiento

Partimos de la premisa de que los nomogramas pueden seguir siendo útiles para resolver rápidamente relaciones cerradas y, especialmente, para visualizar la dependencia entre las variables de un problema. Su aplicación actual se plantea como complemento de las hojas de cálculo y de los simuladores de procesos, no como sustituto de estas herramientas. La principal ventaja buscada es disponer de instrumentos portátiles y transparentes que permitan realizar cálculos de primera aproximación, explorar escenarios y analizar visualmente la sensibilidad de los resultados.

La contribución central del trabajo consiste en desarrollar una serie coherente de nomogramas para problemas representativos del procesamiento de minerales. Se incluyen herramientas para estimar el consumo energético de molienda mediante la ley de Bond, la potencia de los molinos mediante el modelo modificado de Hogg y Fuerstenau, el tamaño de las bolas de reposición según Azzaroni, la carga circulante en circuitos cerrados y la recuperación en un sistema de dos productos. A estas herramientas se añaden gráficos auxiliares relacionados con la velocidad del molino, la densidad aparente de la carga y diversas propiedades de las pulpas.

Construcción reproducible de los nomogramas

Una característica fundamental del trabajo es que los gráficos no se construyen manualmente, sino mediante procedimientos computacionales reproducibles. Los autores emplean PyNomo y Nomogen y, para cada relación matemática, seleccionan la estrategia de construcción más adecuada. PyNomo permite trabajar con diferentes formas nomográficas estándar, mientras que Nomogen genera numéricamente las escalas de relación que no pueden transformarse de forma sencilla en esas representaciones convencionales.

El procedimiento parte de las relaciones matemáticas que rigen cada problema y las transforma en estructuras gráficas compuestas por escalas y líneas de referencia. Para algunas aplicaciones se utilizan formas nomográficas estándar; para otras, como la recuperación de dos productos y determinadas relaciones entre las propiedades de las pulpas, se emplea la generación numérica de escalas. El artículo documenta las dimensiones de los gráficos, los tipos de construcción empleados y los scripts correspondientes.

La reproducibilidad es una parte explícita de la metodología. Los autores ponen a disposición los scripts, las versiones de las herramientas utilizadas y el código empleado para verificar los resultados. De este modo, los nomogramas pueden reconstruirse y comprobarse de forma independiente, lo cual resulta especialmente relevante cuando la herramienta gráfica se utiliza para representar un modelo matemático.

Evaluación de la precisión

La evaluación distingue dos fuentes de error: el error de construcción, asociado a la representación gráfica de la relación matemática, y el error de lectura, asociado al uso práctico del nomograma.

Para estudiar el primero se reprodujeron numéricamente las líneas de cálculo de cada gráfico mediante 2000 casos aleatorios por nomograma. Los errores de construcción observados fueron inferiores al 0,13 % en los gráficos evaluados mediante generación numérica y se situaron en niveles despreciables, cercanos al redondeo, en los construidos con PyNomo.

El segundo análisis simuló una incertidumbre de posicionamiento de 0,25 mm durante la lectura. Los resultados muestran que el error depende notablemente del nomograma y de la sensibilidad de la relación representada. Para la mayoría de las herramientas, la mediana del error se mantiene aproximadamente entre el 0,04 % y el 1,4 %. El caso más desfavorable es el nomograma de carga circulante, con una mediana cercana al 3,4 % y un percentil 95 cercano al 19 %.

La diferencia entre ambos tipos de error es relevante. La construcción computacional de los gráficos introduce errores muy pequeños, mientras que la lectura manual es la principal fuente de imprecisión. Además, esta imprecisión no es uniforme: depende de la geometría del nomograma y de la sensibilidad matemática de la relación representada. Los autores señalan que, con los tamaños de impresión recomendados, la mayoría de los gráficos puede leerse con una precisión aproximada del 1 %.

Aplicación al dimensionamiento de un molino de bolas

El trabajo incluye un ejemplo de aplicación para el dimensionamiento de un molino de bolas en circuito cerrado con clasificación. El caso considera una alimentación de 1200 t/h, una reducción del tamaño característico de las partículas de 7000 a 180 μm, un índice de trabajo de Bond de 12 kWh/t y condiciones específicas de velocidad, carga de bolas, relación longitud/diámetro y concentración de sólidos.

La aplicación encadenada de los nomogramas permite obtener la energía específica de molienda, la potencia neta requerida y la densidad aparente de la carga, y así determinar las dimensiones del molino. La lectura gráfica proporciona una energía específica de aproximadamente 7,5 kWh/t, frente a 7,51 kWh/t obtenida mediante el cálculo analítico, y una potencia neta de unos 9 MW. La aplicación sucesiva de las herramientas da como resultado un diámetro aproximado de 23,3 pies.

Los resultados se comparan posteriormente con los de Moly-Cop Tools. La comparación muestra una concordancia muy elevada, pero los autores destacan una precisión metodológica importante: ambas herramientas utilizan las mismas relaciones matemáticas y los mismos coeficientes. Por ello, la comparación demuestra que el procedimiento gráfico reproduce correctamente los cálculos de referencia, pero no constituye una validación independiente de los modelos frente a datos industriales.

Sensibilidad y propagación del error

El ejemplo de dimensionamiento también permite estudiar cómo se propagan los errores de lectura. En particular, la relación entre el diámetro del molino y la potencia hace que pequeñas desviaciones en el diámetro puedan producir variaciones considerablemente mayores en la potencia calculada. Los autores muestran que una lectura de 24,0 pies, en lugar de 23,3 pies, incrementaría la potencia seleccionada en aproximadamente un 11 %.

Este resultado muestra que la utilidad de un nomograma no puede evaluarse únicamente a partir de su error gráfico. La sensibilidad de la propia relación matemática condiciona la precisión final. Algo similar ocurre con el cálculo de la carga circulante, cuya formulación es particularmente sensible a determinadas combinaciones de porcentajes de sólidos.

El estudio también pone de manifiesto que la incertidumbre asociada al modelo puede superar ampliamente al error introducido por el nomograma. En el caso del modelo de potencia de Hogg y Fuerstenau, los autores identificaron diferencias del 12–15 % entre dos calibraciones empleadas en distintas versiones. Esa diferencia es sustancialmente mayor que los errores de lectura observados en la evaluación gráfica.

Alcance y limitaciones

Los nomogramas propuestos están destinados principalmente a cálculos de primera aproximación, análisis preliminar, exploración de escenarios, evaluación operativa y formación. No pretenden sustituir a los simuladores de procesos ni a las herramientas de cálculo de mayor precisión utilizadas en el diseño detallado.

Además, el hecho de que una combinación de parámetros esté representada dentro del intervalo de una escala no garantiza que sea físicamente admisible ni que se encuentre dentro del dominio de calibración del modelo. El usuario debe comprobar estas condiciones de forma independiente. El artículo señala también que aún no se ha realizado una evaluación experimental con estudiantes o profesionales que permita comparar el tiempo y la tasa de error con respecto a las calculadoras o las hojas de cálculo.

Conclusión

La principal aportación del trabajo no radica en la creación de nuevos modelos de procesamiento de minerales, sino en la transformación reproducible de modelos existentes en herramientas gráficas verificables. Los resultados muestran que es posible obtener nomogramas con errores de construcción muy reducidos y una precisión de lectura adecuada para cálculos preliminares, aunque esta precisión depende de la sensibilidad de cada relación.

El estudio sitúa así a los nomogramas como una herramienta complementaria entre la formulación matemática y el cálculo computacional. Su interés radica en combinar rapidez, portabilidad y representación visual de las relaciones entre variables con una metodología moderna de generación y verificación. Al mismo tiempo, el trabajo delimita claramente sus aplicaciones: los nomogramas permiten reproducir y explorar modelos existentes, pero no eliminan las incertidumbres inherentes a dichos modelos ni sustituyen su validación mediante datos experimentales o industriales.