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¿Por qué nada en la ciencia es exacto? Cómo entender y calcular el error experimental

Jorge Luis Borges imaginó una vez un imperio en el que el arte de la cartografía alcanzó tal perfección que el mapa de una sola provincia ocupaba toda una ciudad. Finalmente, los cartógrafos trazaron un mapa del imperio que tenía el mismo tamaño que este y coincidía punto por punto con él. Por supuesto, aquel mapa era inútil.

En ciencia sucede algo similar: medir no es replicar la realidad, sino crear un mapa de ella. Estamos obsesionados con la exactitud, pero en el laboratorio pronto aprendemos que la «medida exacta» es una quimera. Medir no consiste en capturar una verdad absoluta, sino en gestionar con elegancia la incertidumbre. Un dato sin su margen de error no es una medida, sino una simple expresión de deseos.

1. La ilusión de la exactitud: el error es inevitable.

En metrología, la humildad es una competencia técnica. Debemos aceptar que nuestros sentidos y nuestros instrumentos están limitados por definición. La teoría de los errores nos enseña que el «valor verdadero» es un ideal matemático al que solo podemos aproximarnos. El error no es una equivocación del científico, sino una propiedad inherente al acto de medir.

Existen dos fuerzas que distorsionan nuestro «mapa» de la realidad:

  • El error sistemático es un sesgo constante. Aparece cuando la metodología es inadecuada, los instrumentos están mal calibrados o los patrones de medición son dudosos. Se trata de un error predecible que desplaza todas nuestras mediciones en la misma dirección, alejándolas de la realidad.
  • El error accidental o aleatorio es el «ruido» del universo. Se debe al azar, a variaciones microscópicas y a factores incontrolables. Se manifiestan como pequeñas fluctuaciones al repetir una medición y, aunque no pueden eliminarse, la estadística es nuestra herramienta para controlarlas.

Para navegar por esta complejidad, distinguimos entre exactitud (cuán cerca está nuestra flecha del centro de la diana) y precisión (cuán cerca están las flechas entre sí, independientemente de dónde hayan caído).

«El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente».

2. El drama de los ceros: el límite de nuestro conocimiento.

En el lenguaje técnico, los números no solo indican cantidades, sino que también expresan confianza. No es lo mismo informar de un peso de «1,5 g» que de uno de «1,500 g». Las cifras significativas son los dígitos que realmente aportan información sobre la precisión de nuestra medición.

Para entenderlas, seguimos unas reglas claras:

  • Cualquier dígito distinto de cero es significativo.
  • Los ceros situados entre dígitos significativos (por ejemplo, 2,054) siempre cuentan.
  • Los ceros a la izquierda (por ejemplo, 0,076) son solo marcadores de posición decimal.
  • Los ceros situados a la derecha del punto decimal (por ejemplo, 0,0540) son fundamentales, ya que indican que el instrumento fue capaz de medir esa posición.

El número «1500» es el ejemplo clásico de ambigüedad: ¿es una aproximación a la centena o una medida exacta en gramos? La notación científica resuelve el misterio: 1,5 × 10^(3) indica dos cifras significativas, mientras que 1,500 × 10^(3) indica cuatro. Aquí reside una reflexión profunda: la última cifra significativa siempre es incierta. Es el límite de nuestra visión, el punto en el que nuestra capacidad de observación se desvanece en la duda.

3. La paradoja de la resta: el «caso más desfavorable».

Uno de los conceptos más fascinantes y contraintuitivos es la propagación de errores. Imaginemos que pesamos una tetera colocando pesas en un platillo. Si la masa de la tetera se obtiene restando la masa del plato de la masa total, podrías pensar que los errores también se restan. Sin embargo, la ciencia es conservadora por necesidad.

En metrología, trabajamos bajo la filosofía del caso más desfavorable. Si la medida A presenta un error por exceso y la medida B, por defecto, al restarlas (A – B) el error total resultante no disminuye, sino que aumenta. Las incertidumbres nunca se anulan; siempre se acumulan.

  • En sumas y restas, las cotas de error absoluto se suman.
  • En multiplicaciones y divisiones, lo que sumamos son los errores relativos.

Cuando multiplicamos, no solo añadimos «milímetros» de duda, sino que también multiplicamos la incertidumbre de la proporción misma, lo que amplía el margen de error de nuestro mapa original.

4. La regla de oro: la estética del rigor.

La honestidad metrológica tiene una regla estética: el error absoluto generalmente se expresa con una sola cifra significativa. No tiene sentido decir que una montaña mide 2000,432 metros, con un error de 12,45 metros. La duda en las decenas anula cualquier certeza en los milímetros.

Sin embargo, existen dos excepciones en las que se permiten dos cifras significativas en el error:

  • Si la primera cifra es un 1.
  • Si la primera cifra es un 2 seguido de una cifra menor que 5 (es decir, hasta 24).

La regla del redondeo es estricta: se redondea por exceso en una unidad si la segunda cifra es 5 o superior. Finalmente, el valor y su error deben tener el mismo número de decimales.

Corrección de estilo metrológico

5. El criterio de dispersión: ¿cuándo es suficiente?

¿Cuántas mediciones necesitamos para que nuestra media sea fiable? Si solo realizamos una medición, el error dependerá directamente del instrumento.

  • En los instrumentos digitales, el error se expresa como la sensibilidad (S).
  • En los instrumentos analógicos, el error es la mitad de la sensibilidad (S/2).

Pero cuando la precisión es crítica, recurrimos a la estadística. A continuación, comento un criterio usado en algunas publicaciones, como la de Fernando Senent, aunque también se pueden consultar otros criterios en este otro documento. En cualquier caso, el proceso siempre comienza con 3 medidas iniciales para calcular el criterio de dispersión (T):

Para series largas (N ≥ 15), utilizamos el error cuadrático medio (ECM). Este cálculo parte de la suposición de que nuestros datos siguen una distribución gaussiana (la famosa campana de Gauss), según la cual el 68,3 % de las medidas se encontrarán dentro de un margen de error cuadrático medio respecto a la media. Es el reconocimiento matemático de que el azar tiene una estructura.

Conclusión: la honestidad de la incertidumbre.

La ciencia no es el dominio de las verdades absolutas, sino el territorio de la incertidumbre controlada. Aceptar el error, nombrarlo y calcularlo no es una debilidad, sino la máxima expresión de la integridad técnica. Al acotar lo que no sabemos, protegemos la validez de lo que sí sabemos.

¿Cómo cambiaría nuestra percepción del mundo si aceptáramos que cada «dato real» que consumimos, desde las estadísticas económicas hasta los resultados de un análisis clínico, viene acompañado de un margen de error invisible? Quizás dejaríamos de buscar certezas absolutas y empezaríamos a valorar la honestidad de la duda bien calculada.

En esta conversación puedes escuchar las ideas más interesantes de este artículo.

Aquí tienes un resumen en formato de vídeo sobre los aspectos clave de la medición.

Por último, creo que este resumen puede resultar de interés.

Medición_y_error_La_guía_maestra

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Cifras significativas y errores de medición

Diferencias entre la exactitud y la precisión de una medida

El uso de calculadoras electrónicas y ordenadores nos hace perder el orden de magnitud de un problema. Como ya comenté en un artículo anterior, el uso masivo de herramientas informáticas atrofian la capacidad intuitiva y de cálculo de los futuros profesionales. Un buen ingeniero o científico debería tener un «número gordo» del resultado antes, incluso, de resolver un problema.

Cuando se miden ciertas cantidades, lo valores medidos se conocen solo dentro de los límites de la incertidumbre experimental. Usamos el número de cifras significativas como una medición que sirve para expresar algo de dicha incertidumbre. De hecho, todas las cifras significativas importan información veraz de la medición, excepto la última, que es incierta.

Para conocer el número correcto de cifras significativas, se siguen las siguientes normas:​

  • Los ceros situados en medio de números diferentes de cero son significativos, por ejemplo, 709 cm tiene tres cifras significativas.
  • Los ceros a la izquierda del primer número no son significativos, por ejemplo, 0,000057 presenta dos cifras significativas.
  • Para los números mayores que uno, los ceros escritos a la derecha de la coma decimal también cuentan como cifras significativas, por ejemplo 6,0 tiene dos cifras significativas.
  • En los números enteros, los ceros situados después de un dígito distinto de cero, pueden ser o no cifras significativas, por ejemplo 8000, puede tener una cifra significativa (el número 8), pero también cuatro. Para evitar el problema se puede usar la notación científica, indicando el número 8000 como 8·103 teniendo solo una cifra significativa (el número 8) o 8,0·103, tenemos dos cifras significativas (8,0).

Existen reglas empíricas que permiten conocer el número de cifras significativas en el caso de operaciones básicas:

  • Cuando se multiplican o dividen varias cifras, el resultado tiene el mismo número de cifras significativas que el número de menor cifras significativas
  • Cuando dos números se sumen o resten, el número de lugares decimales en el resultado debe ser igual al número más pequeño de lugares decimales de cualquier término en la suma

El error de medición se define como la diferencia entre el valor medido y el «valor verdadero». Los errores de medición afectan a cualquier instrumento de medición y pueden deberse a distintas causas. Las que se pueden de alguna manera prever, calcular, eliminar mediante calibraciones y compensaciones, se denominan deterministas o sistemáticos y se relacionan con la exactitud de las mediciones. Los que no se pueden prever, pues dependen de causas desconocidas, o estocásticas se denominan aleatorios y están relacionados con la precisión del instrumento.

Sin embargo, para establecer el error en una medida, se debe disponer, junto con la medida de la magnitud, su error y la unidad de medida del Sistema Internacional. En este caso, se deben seguir las siguientes normas:

  • El error se da con una sola cifra significativa. Se trata del primer dígito comenzando por la izquierda distinto de cero, redondeando por exceso en una unidad si la segunda cifra es 5 o mayor de 5. Sin embargo, como excepción se dan dos cifras significativas para el error si la primera cifra significativa es 1, o bien siendo la primera un 2, la segunda no llega a 5.
  • La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).

Con una sola medida, se indica el error instrumental, que es la mitad de la menor división de la escala del instrumento usado. Sin embargo, con n medidas directas consecutivas, se considera el error cuadrático de la media (una desviación estándar de la población de las medias). A todo caso, se utilizará el mayor de ambos errores.

En este vídeo explico los aspectos básicos de los errores de medición:

Por otra parte, hay que conocer que los errores se propagan cuando hacemos operaciones matemáticas. Simplificando, cuando tenemos sumas o restas, las cotas de error absoluto se suman; cuando hay productos o divisiones, las cotas de error relativo se suman.

Pero mejor será que os deje un vídeo explicativo del profesor de la UPV, Marcos Herminio Jiménez Valentín. Espero que os aclare este tema.

Este otro vídeo también es de interés para conocer con mayor profundidad la propagación de los errores.

Os dejo también unos pequeños apuntes del profesor Antonio Miguel Posadas Chinchilla, de la Universidad de Almería, que os podéis descargar de este enlace: https://w3.ual.es/~aposadas/TeoriaErrores.pdf

Pincha aquí para descargar

 

 

 

 

Los ingenieros, los ordenadores y mil un indios

Los ingenieros, los ordenadores y «mil un indios». Un título algo ambiguo para algo tan sencillo como que, es posible, que nuestros ingenieros más jóvenes hayan perdido cierta habilidad en la resolución y cálculo de problemas debido al uso masivo de los ordenadores y las nuevas tecnologías. Primero veamos el chiste (que espero a nadie siente mal), y luego reflexionemos un poco.

- !Mi General!
- !Sí!
- !Nos atacan mil un indios!
- ... oiga, Toto? Y cómo sabe que son mil uno?
- Porque viene uno adelante... !y cómo mil atrás!

El 23 de febrero de 2012 tuvo lugar un panel-debate en el seno del VI Congreso Nacional de la Ingeniería Civil que se desarrolló en Valencia. Allí Gozard Humar, presidente del European Council of Civil Engineers (ECCE), en una de sus intervenciones respondiendo a un debate generado por el público asistente, vino a decir que se debería prohibir en los primeros cursos de ingeniería el uso de ordenadores, pues estas herramientas atrofian la capacidad intuitiva y de cálculo de los futuros profesionales. Algo de razón no le falta a este representante europeo de la ingeniería civil.

«Al hombre instruido le caracteriza el buscar en los problemas aquella precisión que por su naturaleza admiten, por tanto tan necio es aceptar razonamientos imprecisos de un matemático como pedir demostraciones científicas a un retórico«. Aristóteles

El abandono de la regla de cálculo por la calculadora electrónica, luego por la programable y por último el uso masivo del ordenador por parte de los alumnos ha traído, por una parte, las abrumadoras ventajas del empleo de las tecnologías de la información y la comunicación en el ámbito de la ingeniería. Pero, por otro lado, hoy resulta complicado encontrar alumnos capaces de hacer a mano una raíz cuadrada o cualquier cálculo simple sin el uso de una calculadora. No es difícil encontrar anécdotas de jóvenes ingenieros que, ante problemas más o menos complicados, se encierran con el ordenador para buscar una solución “con diez decimales” y luego un ingeniero senior o un catedrático avezado ha encontrado algún error de bulto en la solución haciendo un “cálculo de servilleta”, usando lo que vienen a ser “números gordos”. A veces un método sencillo, aunque algo impreciso, es suficiente para encuadrar el orden de magnitud de un problema.

Imaginemos que se le pide a uno de nuestros alumnos el cálculo del número de latidos del corazón de un hombre a lo largo de su vida. Si acaba de aprobar la asignatura de Estadística, lo que hará es buscar la esperanza de vida media, con una desviación típica determinada. Lo mismo deberá hacer con el número de latidos. Se pondrá nervioso porque no encuentra datos, pero al final, nos dará una cifra (probablemente con varios decimales).

Suponiendo que el año tiene 400 días, un día tiene 25 horas y cada hora 60 minutos, el número aproximado de minutos en un año es de 6×10^5 minutos.  El número aproximado de minutos en 70 años (suponiendo que es esta la vida media) es de 4×10^7 minutos. Si las pulsaciones medias son de 70 al minuto, tendremos que el resultado es de 10^9.

¿Y si la vida promedio se estimase en 80 años en vez de 70? El número de minutos en 80 años sería de 5×10^8, lo cual implica que el resultado sigue estando en el orden de magnitud de 10^9.

Otra idea que ya no se suele utilizar por el abuso de las calculadoras: el concepto de cifras significativas. Esto está muy relacionado con los «mil un indios».

Supongamos que pedimos a nuestros futuros ingenieros hallar la superficie de una habitación cuadrada de 10,46 m de lado. Tenemos dos decimales porque la precisión es de 1 cm. Es decir, que, realmente, el lado podría medir 10,45 m o bien 10,46 m. El resultado más probable que nos darían sería el de 109,4116 m², lo cual no es correcto. Deberíamos haber respondido 109,4 m². Nos olvidamos del siguiente hecho: cuando se multiplican cantidades, el número de cifras significativas en la respuesta final es el mismo que el número de cifras significativas que tiene el número con menos cifras significativas. Dicha regla se aplica también a la división. Otro ejemplo, el área de un círculo de 6,0 cm de radio no debería expresarse como 113 cm², puesto que esta respuesta tiene 3 cifras significativas, mientras que el radio tiene solo 2. El resultado aceptable sería 1,1×10^2 cm².

Lo mismo le pasa a la suma y a la resta, aunque aquí la regla es distinta: cuando los números se sumen o se resten, el número de lugares decimales en el resultado debe ser igual al número más pequeño de lugares decimales de cualquier término de la suma. Así, 150 +12,35  debería ser 162 y no 162,35.

¿Cómo reducimos el número de cifras significativas? Se puede usar el redondeo: si el último dígito eliminado es mayor que 5, entonces se aumenta en 1. Si es menor a 5, se disminuye en 1. En el caso de que el último dígito eliminado sea igual a 5, el dígito restante debe redondearse al número par más cercano. Esta regla ayuda a evitar la acumulación de errores en procesos aritméticos largos. Otra técnica para evitar la acumulación de error es demorar el redondeo en el cálculo hasta la respuesta final de la calculadora antes de redondear al número correcto de cifras significativas.

Como pasatiempo: ¿cuánto hormigón sería necesario para ejecutar un muro de hormigón armado? Dos formas de abordarlo, mediante el cálculo exhaustivo o bien con un número gordo. Os dejo la solución del número gordo para pasatiempo y un día de estos os lo cuento. Es muy fácil.