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Cifras significativas y errores de medición

Diferencias entre la exactitud y la precisión de una medida

El uso de calculadoras electrónicas y ordenadores nos hace perder el orden de magnitud de un problema. Como ya comenté en un artículo anterior, el uso masivo de herramientas informáticas atrofian la capacidad intuitiva y de cálculo de los futuros profesionales. Un buen ingeniero o científico debería tener un “número gordo” del resultado antes, incluso, de resolver un problema.

Cuando se miden ciertas cantidades, lo valores medidos se conocen solo dentro de los límites de la incertidumbre experimental. Usamos el número de cifras significativas como una medición que sirve para expresar algo de dicha incertidumbre. De hecho, todas las cifras significativas importan información veraz de la medición, excepto la última, que es incierta.

Para conocer el número correcto de cifras significativas, se siguen las siguientes normas:​

  • Los ceros situados en medio de números diferentes de cero son significativos, por ejemplo, 709 cm tiene tres cifras significativas.
  • Los ceros a la izquierda del primer número no son significativos, por ejemplo, 0,000057 presenta dos cifras significativas.
  • Para los números mayores que uno, los ceros escritos a la derecha de la coma decimal también cuentan como cifras significativas, por ejemplo 6,0 tiene dos cifras significativas.
  • En los números enteros, los ceros situados después de un dígito distinto de cero, pueden ser o no cifras significativas, por ejemplo 8000, puede tener una cifra significativa (el número 8), pero también cuatro. Para evitar el problema se puede usar la notación científica, indicando el número 8000 como 8·103 teniendo solo una cifra significativa (el número 8) o 8,0·103, tenemos dos cifras significativas (8,0).

Existen reglas empíricas que permiten conocer el número de cifras significativas en el caso de operaciones básicas:

  • Cuando se multiplican o dividen varias cifras, el resultado tiene el mismo número de cifras significativas que el número de menor cifras significativas
  • Cuando dos números se sumen o resten, el número de lugares decimales en el resultado debe ser igual al número más pequeño de lugares decimales de cualquier término en la suma

El error de medición se define como la diferencia entre el valor medido y el “valor verdadero”. Los errores de medición afectan a cualquier instrumento de medición y pueden deberse a distintas causas. Las que se pueden de alguna manera prever, calcular, eliminar mediante calibraciones y compensaciones, se denominan deterministas o sistemáticos y se relacionan con la exactitud de las mediciones. Los que no se pueden prever, pues dependen de causas desconocidas, o estocásticas se denominan aleatorios y están relacionados con la precisión del instrumento.

Sin embargo, para establecer el error en una medida, se debe disponer, junto con la medida de la magnitud, su error y la unidad de medida del Sistema Internacional. En este caso, se deben seguir las siguientes normas:

  • El error se da con una sola cifra significativa. Se trata del primer dígito comenzando por la izquierda distinto de cero, redondeando por exceso en una unidad si la segunda cifra es 5 o mayor de 5. Sin embargo, como excepción se dan dos cifras significativas para el error si la primera cifra significativa es 1, o bien siendo la primera un 2, la segunda no llega a 5.
  • La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).

Con una sola medida, se indica el error instrumental, que es la mitad de la menor división de la escala del instrumento usado. Sin embargo, con n medidas directas consecutivas, se considera el error cuadrático de la media (una desviación estándar de la población de las medias). A todo caso, se utilizará el mayor de ambos errores.

En este vídeo explico los aspectos básicos de los errores de medición:

Por otra parte, hay que conocer que los errores se propagan cuando hacemos operaciones matemáticas. Simplificando, cuando tenemos sumas o restas, las cotas de error absoluto se suman; cuando hay productos o divisiones, las cotas de error relativo se suman.

Pero mejor será que os deje un vídeo explicativo del profesor de la UPV, Marcos Herminio Jiménez Valentín. Espero que os aclare este tema.

Este otro vídeo también es de interés para conocer con mayor profundidad la propagación de los errores.

Os dejo también unos pequeños apuntes del profesor Antonio Miguel Posadas Chinchilla, de la Universidad de Almería, que os podéis descargar de este enlace: https://w3.ual.es/~aposadas/TeoriaErrores.pdf

Descargar (PDF, 173KB)

 

 

 

 

Los ingenieros, los ordenadores y mil un indios

Los ingenieros, los ordenadores y “mil un indios”. Un título algo ambiguo para algo tan sencillo como que, es posible, que nuestros ingenieros más jóvenes hayan perdido cierta habilidad en la resolución y cálculo de problemas debido al uso masivo de los ordenadores y las nuevas tecnologías. Primero veamos el chiste (que espero a nadie siente mal), y luego reflexionemos un poco.

- !Mi General!
- !Sí!
- !Nos atacan mil un indios!
- ... oiga, Toto? Y cómo sabe que son mil uno?
- Porque viene uno adelante... !y cómo mil atrás!

El 23 de febrero de 2012 tuvo lugar un panel-debate en el seno del VI Congreso Nacional de la Ingeniería Civil que se desarrolló en Valencia. Allí Gozard Humar, presidente del European Council of Civil Engineers (ECCE), en una de sus intervenciones respondiendo a un debate generado por el público asistente, vino a decir que se debería prohibir en los primeros cursos de ingeniería el uso de ordenadores, pues estas herramientas atrofian la capacidad intuitiva y de cálculo de los futuros profesionales. Algo de razón no le falta a este representante europeo de la ingeniería civil.

“Al hombre instruido le caracteriza el buscar en los problemas aquella precisión que por su naturaleza admiten, por tanto tan necio es aceptar razonamientos imprecisos de un matemático como pedir demostraciones científicas a un retórico“. Aristóteles

El abandono de la regla de cálculo por la calculadora electrónica, luego por la programable y por último el uso masivo del ordenador por parte de los alumnos ha traído, por una parte, las abrumadoras ventajas del empleo de las tecnologías de la información y la comunicación en el ámbito de la ingeniería. Pero, por otro lado, hoy resulta complicado encontrar alumnos capaces de hacer a mano una raíz cuadrada o cualquier cálculo simple sin el uso de una calculadora. No es difícil encontrar anécdotas de jóvenes ingenieros que, ante problemas más o menos complicados, se encierran con el ordenador para buscar una solución “con diez decimales” y luego un ingeniero senior o un catedrático avezado ha encontrado algún error de bulto en la solución haciendo un “cálculo de servilleta”, usando lo que vienen a ser “números gordos”. A veces un método sencillo, aunque algo impreciso, es suficiente para encuadrar el orden de magnitud de un problema.

Imaginemos que se le pide a uno de nuestros alumnos el cálculo del número de latidos del corazón de un hombre a lo largo de su vida. Si acaba de aprobar la asignatura de Estadística, lo que hará es buscar la esperanza de vida media, con una desviación típica determinada. Lo mismo deberá hacer con el número de latidos. Se pondrá nervioso porque no encuentra datos, pero al final, nos dará una cifra (probablemente con varios decimales).

Suponiendo que el año tiene 400 días, un día tiene 25 horas y cada hora 60 minutos, el número aproximado de minutos en un año es de 6×10^5 minutos.  El número aproximado de minutos en 70 años (suponiendo que es esta la vida media) es de 4×10^7 minutos. Si las pulsaciones medias son de 70 al minuto, tendremos que el resultado es de 10^9.

¿Y si la vida promedio se estimase en 80 años en vez de 70? El número de minutos en 80 años sería de 5×10^8, lo cual implica que el resultado sigue estando en el orden de magnitud de 10^9.

Otra idea que ya no se suele utilizar por el abuso de las calculadoras: el concepto de cifras significativas. Esto está muy relacionado con los “mil un indios”.

Supongamos que pedimos a nuestros futuros ingenieros hallar la superficie de una habitación cuadrada de 10,46 m de lado. Tenemos dos decimales porque la precisión es de 1 cm. Es decir, que, realmente, el lado podría medir 10,45 m o bien 10,46 m. El resultado más probable que nos darían sería el de 109,4116 m², lo cual no es correcto. Deberíamos haber respondido 109,4 m². Nos olvidamos del siguiente hecho: cuando se multiplican cantidades, el número de cifras significativas en la respuesta final es el mismo que el número de cifras significativas que tiene el número con menos cifras significativas. Dicha regla se aplica también a la división. Otro ejemplo, el área de un círculo de 6,0 cm de radio no debería expresarse como 113 cm², puesto que esta respuesta tiene 3 cifras significativas, mientras que el radio tiene solo 2. El resultado aceptable sería 1,1×10^2 cm².

Lo mismo le pasa a la suma y a la resta, aunque aquí la regla es distinta: cuando los números se sumen o se resten, el número de lugares decimales en el resultado debe ser igual al número más pequeño de lugares decimales de cualquier término de la suma. Así, 150 +12,35  debería ser 162 y no 162,35.

¿Cómo reducimos el número de cifras significativas? Se puede usar el redondeo: si el último dígito eliminado es mayor que 5, entonces se aumenta en 1. Si es menor a 5, se disminuye en 1. En el caso de que el último dígito eliminado sea igual a 5, el dígito restante debe redondearse al número par más cercano. Esta regla ayuda a evitar la acumulación de errores en procesos aritméticos largos. Otra técnica para evitar la acumulación de error es demorar el redondeo en el cálculo hasta la respuesta final de la calculadora antes de redondear al número correcto de cifras significativas.

Como pasatiempo: ¿cuánto hormigón sería necesario para ejecutar un muro de hormigón armado? Dos formas de abordarlo, mediante el cálculo exhaustivo o bien con un número gordo. Os dejo la solución del número gordo para pasatiempo y un día de estos os lo cuento. Es muy fácil.