Los problemas de programación lineal consisten en optimizar una ecuación lineal sujeta a una serie de restricciones, formuladas como desigualdades lineales. Para resolverlos, el toolbox de Matlab incluye la función linprog, que emplea tres algoritmos para su solución: el método de larga escala, el método simplex y el de Active Set.
La sintaxis para llamar a esta función es la siguiente:
x = linprog (f ,A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)
Donde:
f: es el vector de coeficientes de la función objetivo, organizado según las variables (Matlab intentará minimizar siempre, por tanto, multiplicaremos por -1 si queremos maximizar)
A, b: corresponden a las restricciones de desigualdad, siendo el primero la matriz y el segundo el vector del lado derecho del sistema de inecuaciones Ax<=b.
Aeq, beq: tienen el mismo tratamiento que A y b, respectivamente, teniendo en cuenta que los nuevos corresponden a un sistema de ecuaciones, en tanto que los antiguos constituían un sistema de inecuaciones.
lb, ub: son, respectivamente, los límites inferior y superior de la región donde se espera que se encuentre el punto óptimo.
x0: es el punto inicial para la iteración. Según el algoritmo usado, es posible, o no, omitir este último.
Ejercicio 1:
Un taller confecciona cuatro productos: F, B, V y A, para los que utiliza 2 horas, 3 horas y media, 4 horas y media y 5 horas de máquina y 1, 2, 1 y 10 horas de mano de operario para cada producto, respectivamente. Si se dispone de 3000 horas de máquina y 2000 horas de operario, y sabiendo que los beneficios obtenidos por unidad son de 6, 10, 13 y 30 u.m., respectivamente, calcular el número de productos de cada tipo que deben producirse para obtener el máximo beneficio.
El planteamiento para el primer problema es:
Maximizar: 6×1 + 10×2 + 13×3 + 30×4
Sujeto a: 2×1 + 3,5×2 + 4,5×3 + 5×4 = 3000
x1 + 2×2 + x3 + 10×4 = 2000
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
Para definir todas las variables del primer problema, en Matlab, se debe escribir:
>> f = [-6 -10 -13 -30];
>> A = -eye(4); % matriz identidad de tamaño 4×4
>> b = [0 0 0 0];
>> Aeq = [2 3.5 4.5 5 ; 1 2 1 10];
>> beq = [3000 2000];
Finalmente, se usa la sintaxis respectiva con las variables del primer problema, cargadas previamente, para obtener lo siguiente:
>> [x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
Optimization Terminated.
x =
0.0000
0.0000
500.0000
150.0000
fval =
-1.1000e+004
Ejercicio 2:
Una empresa dedicada a la producción de frascos de perfume, de agua de colonia y de champú utiliza tres factores productivos, F1, F2 y F3, con 240, 460 y 430 unidades, respectivamente. Las cantidades de dichos factores utilizados en la producción de un frasco por cada producto se detallan en la siguiente tabla:
La formulación del segundo problema es: Sabiendo que el precio unitario de venta del perfume es de 5 unidades monetarias, el del agua de colonia de 2 y el del champú de 3, y que se vende todo lo que se produce, calcular el beneficio máximo y el número de frascos de cada tipo que debe producir la empresa para obtenerlo.
Maximizar: 5×1 + 2×2 + 3×3
Sujeto a: F1 ≤ 240
F2 ≤ 460
F3 ≤ 430
La asignación de los valores de las variables, correspondientes al segundo problema, se realiza de la siguiente manera:
>> f = [-5 -2 -3];
>> A = [1 2 1 ; 2 0 3 ; 0 4 1];
>> b = [240 460 430];
>> x0 = [0 0 0];
>> [x,fval] = linprog(f,A,b,[],[],[0 0 0])
Optimization Terminated.
x =
230.0000
5.0000
0.0000
fval =
-1.1600e+003
Os dejo a continuación algunos problemas que, seguro, podréis abordar con Matlab:
Referencia:
Cabezas, I.; Páez, J.D. (2010). Matlab. Toolbox de optimización. Aplicaciones en ciencias económicas. Unidad de Informática y Comunicaciones. Facultad de Ciencias Económicas. Universidad Nacional de Colombia, Bogotá D.C. (enlace).